Corrige BTSATING Mathematiques 2000

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BTS - groupement B - 2000Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesEXERCICEI1. D suit une loi normale.D−25Si D suit la loi normaleN(25,50;0,1) alors la variable T d´efinie par T = suit la loi normale centr´ee0,1r´eduiteN(0,1).Il en r´esulte que: 25,3−25,5 D−25,5 25,7−25,5p(25,3≤D≤ 25,7) =p ≤ ≤0,1 0,1 0,1=p(−2≤T≤ 2)=π(2)−π(−2)= 2π(2)−1= 2×0,9772−1d’ou` p(25,3≤D≤ 25,7) = 0,9544≈ 0,962. a. X suit une loi binomiale.Soit l’´epreuve: on pr´el`eve un boulon et on v´erifie le diam`etre de la tˆete  ⋆on r´ep`ete 10 fois cette ´epreuve.  ⋆les ´epreuves sont ind´ependantes. donc X suit la loi binomialeB(10;0,96). ⋆chaque ´epreuve a 2 issues : conforme avec p=0,96  ou non conforme avec q=0,04b. Probabilit´e d’avoir au plus un boulon non conforme.On demande donc: p(X≥ 9). soit:p(X≥ 9) =p(X = 9)+p(X = 10)9 9 1 10 10=C (0,96) ×(0,04) +C (0,96)10 10d’ou` p(X≥ 9) = 0,943. Test d’hypoth`esea. Loi suivie par Y σ√D’apr`es le cours, on sait que si Y suit la loi normaleN(,σ), alors Y suit la loi normaleN ,nIci, on a = 10, σ = 0,1 avec n = 100. Donc Y suit la loi normaleN(10;0,01).b. Calcul de h tel que p 10−h≤Y ≤ 10+h = 0,95Y −10Y suit la loi normaleN(10;0,01) donc la variable T d´efinie par T = suit la loi normaleN(0,1).0,01 h hp 10−h≤Y ≤ 10+h =p − ≤T ≤0,01 0,01 h= 2π −10,01 h h hOn en d´eduit que:2π −1 = 0,95 soit π = 0,975 d’ou` = 1,96.0,01 0,01 0,01Donc h = 0,0196≈ 0,02Il en r´esulteque siH est vraie, il y a 95% ...

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BTS  groupement B  2000 Correctiondel’´epreuvedeMathe´matiques

EXERCICE I 1.Dsuit une loi normale. D−25 SiDsuit la loi normaleN(25,50; 0,1) alors la variableT´dfieinpearTcelartneiolamronsuitle´e= 0,1 r´eduiteN(0,1). Ilenre´sulteque:   25,3−25,5D−25,5 25,7−25,5 p(25,3≤D≤25,7) =p≤ ≤ 0,1 0,1 0,1 =p(−2≤T≤2) =π(2)−π(−2) = 2π(2)−1 = 2×0,977 2−1 d’ou`p(25,3≤D≤25,7) = 0,954 4≈0,96 2. a.Xsuit une loi binomiale. Soitl’´epreuve:onpre´l`eveunboulonetonve´rifielediam`etredelateˆte  ⋆ete10foionr´ep`.evuerpe´ettecs   ⋆ntsoesuvreeps´lese.adtnpeneni´d doncXsuit la loi binomialeB(10; 0,96). ⋆veesa:2cpirsesuurumee´aeocnhfaoq0=9,evpc6    ou non conforme avec q=0,04 b.libiedt´vo’aauirsulpobnunolucnonmr.enoofPorab On demande donc:p(X≥9). soit: p(X≥9) =p(X= 9) +p(X= 10) 9 91 1010 =C(0,96)×(0,04) +C(0,96) 10 10 d’o`up(X≥9) = 0,94 3.Tdtseeesyp’hh`ot a.Loi suivie parY   σ D’apre`slecours,onsaitquesiYsuit la loi normaleN(µ, σ), alorsYsuit la loi normaleNµ, n Ici, on aµ= 10,σ= 0,1 avecnDonc= 100.Ysuit la loi normaleN(10; 0,01).   b.Calcul dehtel quep10−h≤Y≤10 +h= 0,95 Y−10 Ysuit la loi normaleN(10; 0,01) donc la variableTinpera´dfieTla loi normale= suitN(0,1). 0,01     h h p10−h≤Y≤10 +h=p− ≤T≤ 0,01 0,01   h = 2π−1 0,01    h hh Onend´eduitque:2π−1 = 0,95 soitπ= 0,o`d’7591=u,96. 0,01 0,01 0,01 Donch= 0,0196≈0,02 Ilenr´esultequesiH 0 nue´vereitllhcnantlaondonneamoyeneitrapptvtseeiaryli,%59achdeceanepsdelr´ a`l’intervalle:[9,98 ; 10,02] c.sice.noileegd´deR` Onpre´l`eveun´echantillonal´eatoirede100boulons,etoncalculelamoyenneysedsd.pseileuresde`etrdiam Si cette moyenne est dans l’intervalle [9,98 ; 10,tel’hypoth`ese0]2laroosanccpeH 0 , sinon on la refuse. d.Utilisation du test. L’´echantillonaunemoyenney= 10,9e[llvapartn’ap3qui0tnrelai’ap`seitn,98 ; 10,02]. On refuse doncH 0 etonconsid`ereauseuilde5%,quelesboulonsnesontpasconformespourlediame`tredeleurpied.