Corrige BTSBIOTECH Mathematiques 2007

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BTS Bioanalyses et contrˆoles — groupement DCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2007Exercice 1 (10 points)0 xA. R´esolution d’une ´equation diff´erentielle : y −y =−e (E)0 x1. Les solutions de (E ) y −y = 0 sont les fonctions d´efinies par y = λe0ou` λ est une ...

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BTSBioanalysesetcontroˆles—groupementD

Correctione´preuveMathe´matiques Session 2007

Exercice 1 (10 points) 0x A.R´esolutiond’une´equationdiff´erentielle:y−y=−e (E) 0x 1. Lessolutions de (E 0 )y−yaprinse´dfieoisnsflecton=0ntsoy=λe o`uλinoeictoiensntsuiaits.led,ellee´retnatsnndcoestdanndpe´e x0 2. On poseh(x) =−xe .hdne´iravlbseruestunefonctioReth(x) = x x0x −e−xe .Donch(x)−h(x) =−e´equ:l’n(atioEe´irsevt.)´fiee 3. Lessolutions de (Entneajenobs’enti)culi`ereionpartinuselotuuoattna` de (E(deesalern´´esgnoitulossel)E 0 ). L’ensemble des solutions de (E) est x x l’ensemble des fonctionsf(x) =λe−xe, λ∈R. 0x x 4. Sion imposef(0) = 2, alors :f(0) =λe−`ou0=2,d’f(x) = 2e−xe = x (2−x)e .

´ B. Etude de la fonctionfla.e´rgiltnlcatuec x soitf(x) = (2−x)ed[ruseinfie´−2; 2] 0xx x 1. (a)felteabiverd´stef(x) =−(2e +−x(1)e =−x)e x0 (b) Commee>0, le signe def(x) est celui de 1−x. Donc ( 0 f(x)>0 si−26x61, 0 f(x)610 si6x62.

(c)d’ou`: 2.cf courbe x 3. (a)f(x)>2−x⇔e>1⇔x>0. Doncf(x)>2−xdans [−2; 2]⇔ x∈[0; 2]. (b)cf courbe 5 13 02x2 2x2 2x 4. (a)On aF(x) = (x−)e +(x−5x+ )e= (x−4x+ 4)e= 2 2   2   2 x (x−2)e=f(x) .DoncFest bien une primitive defsur [−2; 2] Z 2    2 2 π 4−4 (b)V=π f(x)dx=π F(x) =(e−41e ) −2 4 −2 3 (c)V'42,291 cm

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