Corrige BTSGEOA Mathematiques 2008

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777BTS - groupement B - 2008Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice 1A . R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .′1. R´esolution de (E ) : y −2y = 0 .0bD’apr`es le formulaire : la fonction x→ =−2, cette fonction admet pour primitive : x→− 2x.a2xLes solutions de l’´equation diff´erentielle sont donc d´efinies sur R par y(x) = ke , ou` k est un nombre r´eelquelconque.x2. g d´efinie surR par h(x) = (−x−1)e est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).xg(x) = (−x−1)e donc′ x xg (x) =−1×e +(−x−1)ex= (−x−2)e′ xon v´erifie que : g (x)−2g(x) = [(−x−2)−2(−x−1)]ex= xexCe qui prouve que g(x) = (−x−1)e est solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).3. Ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E)Toutes les solutions de l’´equation (E) sont obtenues en faisant la somme des fonctions solutions de (E ) et d’une0solution particuli`ere de l’´equation (E).2x xIl en r´esulte que y(x) =ke −(x+1)e .4. Solution particuli`ere f telle que f(0)= 0 .2x x 0 0f(x) =ke −(x+1)e donc f(0) = ke −(0+1)e =k−1La condition initiale n´ecessite que: k−1 = 0 donc que k = 1.2x xOn en d´eduit que: f(x) =e −(x+1)eB. Etude locale d’une fonction′1. a. Calcul de f (x)2x xf(x) = e −(x+1)e′ 2x x xdonc f (x) = 2e −[(x+1)e +e ]2x x= 2e −(x+2)ex x= e [2e −(x+2)]x x= e (2e −2−x)b. Tangente au point d’abscisse 0′ 0 0f (0) = e 2e −2−0= 1(2−2)= 0La tangente a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale.2x2. a. ...

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BTS - groupement B - 2008 Correctiondel’´epreuvedeMathe´matiques

A.R´esolutiond’unee´quationdiff´erentielle. 1.tulose´RE(ednoi 0 ) :y ′ −2y= 0 . D’apr`esleformulaire:lafonctionx−7→ b =−2, cette fonction admet pour primitive :x7−→−2x. a Lessolutionsdel’e´quationdiffe´rentiellesontdoncd´efiniessurRpary(x) =ke 2x ,o`uker´reelestunnomb quelconque.

2.g´edrsuiefinRparh(x) = (−x−1)e x ).elti(Ele´ffidnereauqenoitlu`itrcile´’redenesoestuonpaluti g(x) = (−x−1)e x donc g ′ (x) =−1×e x + (−x−1)e x x = (−x−2)e onve´rifieque:g ′ (x)−2g(x) = [(−x−2)−2 (−x−1)]e x =xe x Ce qui prouve queg(x) = (−x−1)e x elicuti´el’derednoitauqtnere´ffistlosepnratuoiielle(E). `

3.’´eluaeqontiff´dinereleitE(el)Ensemlbdeseosulitnods Touteslessolutionsdel’e´quation(E)sontobtenuesenfaisantlasommedesfonctionssolutionsde(E 0 ) et d’une solutionparticulie`redel’´equation(E). Ilenr´esultequey(x) =ke 2x −(x+ 1)e x . 4.lu`itrcireeSoonpalutiftelle quef(0) = 0 . f(x) =ke 2x −(x+ 1)e x doncf(0) =ke 0 −(0 + 1)e 0 =k−1 Laconditioninitialene´cessiteque:k−1 = 0 donc quek= 1. Onende´duitque:f(x) =e 2x −(x+ 1)e x B. Etude locale d’une fonction 1. a.Calcul def ′ (x) f(x) =e 2x −(x+ 1)e x doncf ′ (x) = 2e 2x −[(x+ 1)e x +e x ] = 2e 2x −(x+ 2)e x =e x [2e x −(x+ 2)] =e x (2e x −2−x) b.Tangente au point d’abscisse 0 f ′ (0) =e 0  2e 0 −2−0  = 1(2−2) = 0 La tangente a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale. 2. a.mitinelt’lroe´a`auvodre2agedisinofaled0enoitcn´eDloveemppx−→7e 2x . On sait que :e t = 1 +t+ t 2 2 +t 2 ε(t) donce 2x = 1 + 2x + (2x) 2 2 +x 2 ε(x) d’o`ue 2x = 1 + 2x+ 2x 2 +x 2 ε(x) avec x li → m 0 ε(x) = 0 b.meppoleve´Dgadesiniuaovrd2el’or´e`aimitentled0eofalitcnnof. f(x) =e 2x −(x+ 1)e x doncf(x) =  1 + 2x+ 2x 2  −(x+ 1)  1 +x+ x 2 2  +x 2 ε(x) x 2 −x−x− x 2 2 = 1 + 2x 1+ 2−x−2 +x 2 ε(x) = x 2 2 +x 2 ε(x)

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