Corrige BTSINDUSC Mathematiques 2005

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BTS — groupement CCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2005Exercice 1 (9 points)Partie A.0Soit l’´equation : (E) y −2y = 4x2x1. y =Ce ou`C est une constante r´eelle, d´ependant des conditions initiales.2. (a) Recherche d’une solution ...

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Extrait

BTS — groupement C

Correctione´preuveMath´ematiques Session 2005

Exercice 1 (9 points) Partie A. 0 Soitl’e´quation:(E)y−2y= 4x 2x 1.y=Ceu`oCtnree´leenocsnatndantdesle,d´epenisnaitidnocoitis.leutse 2.(a)Recherched’unesolutionparticuli`eresouslaformeg(x) =ax+b:g est une solution de (E) si et seulement si−2ax+a−2b= 4x, soit a=−2 etb=−1. Doncg(x) =−2x−1. (b) Lessolutions de (Etbo’s)etnenneinoapulittr-iutannajonesot`au culie`rede(Eern´esalonti´esgsel)ulosed(E 0 ). L’ensemble des solu- tions de (E) est l’ensemble des fonctions 2x f(x) =Ce−2x−1C∈R

3. Sion imposef(0) = 0 et alors :C’o`u=1,d

2x f(x) = e−2x−1

Partie B. 2x 1. En−∞e =, limlim (0 et−2x−1) = +∞donc limf= +∞ x→−∞x→−∞ −∞ 2. Auvoisinage de +∞po,leurlrevdni’ete´nimrimetalilsnrutaoitecri,on´   2x1 2x fsous la forme :f(x1) = e− −. 2x2x e e 2x1 2x On alim =0 etlim =0 donc limf+= lime =∞ 2x2x x→+∞x→+∞+∞x→+∞ e e 02x0 3.futrdeessrbil´veaRetf(x) = 2(e−1). Doncf(x)>0⇔x >o`u0.D’ le tableau : x−∞0 +∞ 0 f(x)−0 + +∞+∞ f& % 0 De plus,∀x∈R, f(x)>0

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