Corrige BTSPEINT Mathematiques 2008

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BTS — groupement DCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2008Exercice 1 (10 points)A. R´esolution d’une ´equation diff´erentielle :On consid`ere :′y +0,05y = 1,05 (E)′1. Les solutions de (E ) y +0,05y = 0 sont les fonctions d´efinies par y =0−0,05tλe ou` λ est une constante r´eelle, d´ependant des conditions initiales.′2. On pose h(t) =a. h est une ...

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BTS — groupement D

Correctione´preuveMath´ematiques Session 2008

Exercice 1 (10 points) A.R´esolutiond’une´equationdiff´erentielle: Onconside`re: ′ y+ 0,05y= 1,05 (E) ′ 1. Lessolutions de (E 0 )y+ 0,05yraeipse´nfinodsfoestinc0s=tlony= −0,05t λo`ueλ.selnedsctouioitinnsiaitlee´retnatsnocenestdanndpe´e,dle ′ 2. Onposeh(t) =a.hno´drevibaelusrestunefonctiReth(x) = 0. ′ hoituloseucitrapnredeli`eunst(eE) sih(t) + 0,05h(t) = 1,`o’5d0u 0,05a= 1,05 etalusoonti=2La1.tdoncrch´eees`ireceehaptrciluh(t) = 21. 3. Lessolutions de (E`ereculientiobs’)artiionpolutunestna`uoatnejaentn de (E(deesal)lesitnoosul´nregse´E 0 ). −0,05t Les solutions de (E) sont l’ensemble des fonctionsf(t) =λe +21, λ∈ R. 4. Sion imposef(0) = 100, alors :f(0) =λ2+=1ud’o`100,λ= 79. On a donc : −0,05t f(t) = 79e+ 21 ´ B.Etuded’unefonctionetcalculinte´gral. −0,05t Soitf(te97=)suie0;+r[1d+2fin´e∞[ −0,05t 1. (a)Comme lime =0, limf(t) = 21. t→+∞t→+∞ (b) Lacourbe def´rsep’´equationetotirohtnozdelateenncdoeaunmpsy y= 21.(cf courbe) 2. Ona 0,1 −0,05t f(t) = 21,1⇐⇒e = 79   0,1 ⇐⇒ −0,05t= ln 79     1 0,1 ⇐⇒t=−ln 0,05 79   79 ⇐⇒tln == 2020 ln(790)≈133,4 0,1

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