Corrige BTSTP Mathematiques 2000

Description

BTS SE 2000, corrigé, par Elodouwen π⎡ ⎤et là c’est gagné, car dans 0; on connaît l’expression de f(x):⎢ ⎥2⎣ ⎦EXERCICE 1 ππ π 2 222 π ⎡t ⎤ π1) graphe de f: 2 2a = tdt = tdt = =0 ∫ ∫ ⎢ ⎥0 0π 2 2 8⎣ ⎦0–––––––a+T2a = f t cos nωt dt , même raisonnement, on choisit bien a:( ) ( )n ∫aTπ π π2 4 π2 2 2a = f(t)cos(nωt)dt = tcos(nωt)dt =2 tcos(nωt)dtπn ∫ ∫ ∫0 0−π π 22b2) f étant paire, les sont nuls.n il n’y a plus qu’à procéder à l’intégration par parties.2πT =π donc ω = =2πTπ π21 1⎡ ⎤a+T1 2 2a =2 tcos(nωt)dt =2 t sin(nωt) −2 sin(nωt)dtna = f(t)dt , lorsque la fonction est paire il est toujours ∫ ∫⎢ ⎥0 0 0∫ nω nωa ⎣ ⎦0Tattention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partoutT TT ⎡ ⎤préférable de prendre a= − , ce qui revient à intégrer sur − ; : π⎢ ⎥2 2 π2 ⎣ ⎦ 22 2 −1⎡ ⎤2a = ⎡tsin(nωt)⎤ − cos(nωt)π n ⎣ ⎦ ⎢ ⎥01 nω nω nω2 ⎣ ⎦0a = f t dt : c’est la somme des deux rectangles grisés( )π0 ∫−π 2 2 ⎛π π ⎞ 2 ⎛ −1 π −1⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞a = sin 2n − cos 2n − car ω =2⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠2n 2 2 2n 2n 2 2nπ 1a = sin nπ + cos nπ −1( ) ( ( ) )n 22n 2n1 na = −1 −1( )( )n 22non dit que c’est deux fois le rectangle sombre, par parité:π22a = f t dt( )0 ∫0π2 2 2 2n π π cos(nπ) π π −1= − soit = − ce qui revient… exactement au même…car cosnπ = −1 ∑ ∑( ) 2 24 8 n 4 8n≥1 (2p+1)P≥0nimpair3.2) D’après ce qui précède, et vu qu’un nombre impair n peut s’écrire n=2p+1 avec p un entier quelconque, 2 cos 2(2p+1)tπ ( )∀x∈R,f(x)=S(x)= −∑ 28 (2p+1)P≥0π π ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0; ∀x∈ 0; ,S x = ...

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• Publié par: shin
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• Langue: Français

Extrait

BTS SE 2000, corrigé, par Elodouwen

EXERCICE 1 1) graphe def:

2)fétant paire, les b n sont nuls. T=πdoncω= 2π =2 T a 0 = T 1 ∫ a a +T f ( t ) dt, lorsque la fonction est paire il est toujours préférable de prendrea=− T 2 , ce qui revient à intégrer sur − ⎣ ⎢ ⎡ T ; 2 T 2 ⎥ ⎤ ⎦ : a 0 = 1 ∫ π 2 π f ( t ) dt: cest la somme des deux rectangles grisés π − 2

on dit que cest deux fois le rectangle sombre, par parité: 0 = 2 π f ( t ) a π ∫ 2 0 dt

et là cest gagné, car dans ⎡ ⎣ ⎢ 0; π 2 ⎤ ⎥ ⎦ on connaît lexpression def(x): π a 0 = π 2 ∫ 2 0 π 2 π tdt= ∫ 0 π 2 tdt= ⎡ ⎢ ⎣ t 2 ⎥ ⎦ ⎤ 0 2 = π 8 2 2 ––––––– a n = T 2 ∫ a+T f ( t ) cos ( n ) , même raisonnement, ωt dton choisit biena: a

a n = 2 ∫ − π 2 π f ( t ) cos ( nωt ) dt= 4 π ∫ 0 2 π π 2 tcos ( nωt ) dt=2 ∫ 2 0 π tcos ( nωt ) dt π 2 il ny a plus quà procéder à lintégration par parties.

π a n =2 ∫ 0 π 2 tcos ( nωt ) dt=2 ⎡ ⎢ ⎣ t 1 ω sin ( nωt ) ⎦ ⎤ ⎥ 0 2 −2 ∫ 2 0 π n 1 ω sin ( nωt ) dt n attention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partout π 2 −nω a n = n 2 ω ⎡ ⎣ tsin ( nωt )⎤ ⎦ 0 π 2− ⎣ ⎢ ⎡ ω 1 cso ( t ) ⎥ ⎤ ⎦ 0 2 nωn a n = 2 2 n ⎝ ⎜ ⎛ 2 π sin ⎜ ⎝ ⎛ 2n π 2 ⎞ ⎠ ⎟ − ⎟ ⎠ ⎞ 2 2n ⎛ ⎜ ⎝ 2 − n 1 cos ⎝ ⎛ ⎜ 2n π ⎞ ⎟ ⎠ − 2 − n 1 ⎟ ⎠ ⎞  car  ω=2 2 a n = 2 π n sin ( nπ) + 2n 1 2 ( cos ( nπ ) −1 ) = 1 2 ( −1 ) n −1 a n 2n