Corrige CAPESINT Composition de mathematiques 2007 CAPES MATHS

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CAPES INTERNE 2007CORRIGEProblème 1Partie IMajorations, minorations, encadrements1. c(0)=0, s(0)=0.£ ⁄1 2:718+03671 ¡1c(1)= e +e = =1;542 2£ ⁄1 2;718¡0;3671 ¡1 ¡2s(1)= e +e = =1;17 à 10 près.2 2¡x xe +e2. c(¡x)= =c(x)2¡x xe ¡es(¡x)= =s(x).22 2 x ¡x3.1. [c(x)] ¡[s(x)] =[c(x)+s(x)][c(x)¡s(x)]=e £e =12206s (x)=[c(x)] ¡1=[c(x)¡1]£[c(x)+1].On sait que c(x)+1>0, donc c(x)>1.x ¡x3.2. Pour x>0, on a e >e , d’où s(x)>0.1Donc c(x)¡s(x)= >0.c(x)+s(x)4.1. Ces fonctions sont des combinaisons linéaires de fonctions dérivables, doncelles sont dérivables.¡ ¢ ¡ ¢1 10 x ¡x 0 x ¡xc(x)= e ¡e =s(x) ; s(x)= e +e =c(x)>0:2 24.2.x - 0 +s(x) 0c(x)11882 CAPES Interne - 2007 - Corrigé4.3.yO xs(x)05.1. (s(x)¡x) =c(x)¡1>0d’où, pour x>0, s(x)¡x>s(0)¡0=0.µ ¶02x5.2. c(x)¡ ¡1 =s(x)¡x>0, pour x>022x 0donc, pour x>0 : c(x)¡ ¡1>c(0)¡ ¡1=0,2 2µ ¶03 2x xs(x)¡ ¡x =c(x)¡ ¡1>06 23xdonc, pour x>0 : s(x)¡ ¡x>s(0)¡0=0.606.1. [2x¡s(x)] =2¡c(x)>0 pour tout x2[0;1],d’où, pour x2[0;1] : 2x¡s(x)>0¡s(0)=0.£ ⁄02Toujours pour x2[0;1] : 1+x ¡c(x) =2x¡s(x)>0.2Donc 1+x ¡c(x)>1+0¡c(0)=0.3x6.2.Enappliquantl’inégalitéprécédenteàladérivéedelafonctionx+ ¡s(x),33xon obtient x+ >s(x),32 4x xd’où l’on déduit par la même méthode : 1+ + >c(x) (x2[0;1]).2 122x6.3. D’après 5.2., on peut écrire 1+ 6c(x) (x>0).22 4x xD’après 6.2., on peut écrire c(x)61+ + (x2[0;1]).2 12D’où les inégalités demandées :2 2 4 2x x x x 11+ 6c(x)61+ + 61+ +2 2 12 2 12pour x2[0;1].De 6.1 ...

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• Publié par: shin
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