Corrige de l epreuve d Analyse du Concours
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Description

Niveau: Supérieur
Corrige de l'epreuve d'Analyse du Concours 2005 Jean-Marie Monier Questions preliminaires 1. Soit x = (xk)k>0 ? E. Notons y = T x = (yk)k>0. On a : ? k > 0, |yk| = ? ? ? 1 k + 1 k ∑ j=0 xj ? ? ? 6 1k + 1 k ∑ j=0 |xj | 6 1k + 1(k + 1)||x|| = ||x||, et donc : y ? E et ||y|| 6 ||x||. Ceci montre que E est stable par T et que : ?x ? E, ||T x|| 6 ||x||. On note T : E ?? E l'endomorphisme induit par T sur E. 2. Puisque T est lineaire, que E est un C-sev de E , et que E est stable par T , T est lineaire. D'apres le resultat de 1., T est continue. De plus, |||T ||| 6 1. 3. Soit x = (xk)k>0 ? Ec. Il existe ? C tel que xk ?? k∞ .

  • vp ?p∞

  • k∞

  • theoreme de sommation des relations de comparaison

  • yk?1 ??

  • yk ?

  • k?1 ∑

  • proche en proche


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Langue Français

Extrait

Corrig´edel´epreuvedAnalyseduConcours2005
Jean-Marie Monier
Questionspr´eliminaires 1. Soit x = ( x k ) k > 0 E. Notons y = T x = ( y k ) k > 0 . On a : k > 0 , | y k | = ¯ k 1+1 jk X =0 x j ¯ 6 k 1+1 jk X =0 | x j | 6 k +11( k + 1) || x || = || x || , et donc : y E et || y || 6 || x || . Ceci montre que E est stable par T et que : x E, ||T x || 6 || x || . On note T : E −→ E l’endomorphisme induit par T sur E. 2. Puisque T estlin´eaire,que E est un C -sev de E , et que E est stable par T , T estline´aire. Dapre`slere´sultatde1., T est continue. De plus, ||| T ||| 6 1 . 3. Soit x = ( x k ) k > 0 e x k −→ `. E c . Il existe ` C tel qu k On a donc x k ` = o (1) . k Commelas´eriedetermeg´en´eral1estdivergenteet`atermesr´eels > 0 , dapre`sunthe´ore`mede sommation des relations de comparaison, on a : k k X ( x j ` ) = k o ³X 1 ´ = k o ( k + 1) , j =0 j =0 k y k ` = k +11 X ( x j ` ) = k o (1) , j =0
do`u: cest-`a-dire: y kk −→ `. Ceci montre : x E c , T x E c , cest-a`-direque E c est stable par T . Pluspre´cis´ement,onamontre´que,pourtoute x E, si x converge vers `, alors T x converge vers `.
Partie I : Exemples A. Premiers exemples 1. On a, pour tout k N : (1 e i θ ) y k = k +11(1 e i θ )(1 + e i θ + ∙ ∙ ∙ + e i ) = k 1+1 ¡ 1 e i( k +1) θ ¢ .
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