Corrige ESPCI Deuxieme composition de Mathematiques 1999 PC

Description

meRapport de M Corinne BLONDEL et M. Laurent HABSIEGER,correcteurs.Comme mentionné dans l’énoncé, le but de ce problème est d’étudier l’intégration desfonctions polynomiales réelles sur l’intervalle [−1,1], en tant que forme linéaire sur unespace vectoriel normé. La première partie est consacrée à l’approximation numérique decette forme linéaire L, à l’aide des polynômes d’interpolation de Lagrange. Dans la se-conde partie, quelques considérations générales sur les normes s’appliquent naturellementà deux normes classiques sur les fonctions polynomiales de degré au plus n, pour calculerla norme de L. Dans la troisième partie, on s’intéresse à ce qui se passe lorsque n tendvers l’infini.Il s’agissait là d’un problème d’analyse classique, faisant appel à des notions d’algèbrelinéaire. Les connaissances nécessaires en analyse étaient variées (polynômes et interpola-tion de Lagrange, formule de Taylor, analyse numérique) et largement traitées en cours.L’algèbre linéaire faisait appel à un savoir plus restreint en laissant une part plus large àl’intuition des candidats.Cette année 27 copies (contre 6 l’année dernière et 3 l’année précédente) ont obtenuune note éliminatoire. De même, nous avons décerné un nombre record de 20/20. « Ainsil’écart-type s’est nettement accru. » Plus précisément, la répartition des notes est lasuivante :0≤N< 5 15%5≤N<10 37%10≤N<15 33%15≤ N≤ 20 15%Comme l’année dernière, les correcteurs ont remarqué les difficultés grandissantes ...

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Extrait

me Rapport de MCorinne BLONDEL et M. Laurent HABSIEGER, correcteurs.

Comme mentionné dans l’énoncé, le but de ce problème est d’étudier l’intégration des fonctions polynomiales réelles sur l’intervalle[−1,1], en tant que forme linéaire sur un espace vectoriel normé. La première partie est consacrée à l’approximation numérique de cette forme linéaireL, à l’aide des polynômes d’interpolation de Lagrange. Dans la se- conde partie, quelques considérations générales sur les normes s’appliquent naturellement à deux normes classiques sur les fonctions polynomiales de degré au plusn, pour calculer la norme deL. Dans la troisième partie, on s’intéresse à ce qui se passe lorsquentend vers l’infini.

Il s’agissait là d’un problème d’analyse classique, faisant appel à des notions d’algèbre linéaire. Les connaissances nécessaires en analyse étaient variées (polynômes et interpola- tion de Lagrange, formule de Taylor, analyse numérique) et largement traitées en cours. L’algèbre linéaire faisait appel à un savoir plus restreint en laissant une part plus large à l’intuition des candidats.

Cette année 27 copies (contre 6 l’année dernière et 3 l’année précédente) ont obtenu une note éliminatoire. De même, nous avons décerné un nombre record de 20/20. « Ainsi l’écart-type s’est nettement accru. » Plus précisément, la répartition des notes est la suivante : 0≤N <5 15% 5≤N < 1037% 10≤33%N < 15 15≤N≤20 15%

Comme l’année dernière, les correcteurs ont remarqué les difficultés grandissantes des candidats face à l’épreuve. Leur barême est de plus en plus généreux pour maintenir une moyenne proche de 10 : elle s’établit à 9,9/20 et l’écart-type à 4,5.

L’épreuve n’a pu être traitée que partiellement. Le tableau ci-dessous donne un pour- centage indicatif de candidats ayant marqué des points à une question donnée. Question Pourcentage Question Pourcentage 1. 98%6.a63% 2.a87%6.b84% 2.b80%7. 81% 3. 50%8.a44% 4.a25%8.b03% 4.b13%9.a50% 5.a60%9.b30% 5.b14%10.a04% 10.b01%