Corrige UTBM Integration Algebre lineaire Fonctions de plusieurs variables 2005 TC

Description

UTBM - MT12 - le 5 Novembre 2007M¶edianCalculatrices interdites. Le seul document autoris¶e est une feuille A4recto-verso r¶edig¶ee µa la mainChaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuilledifi¶erenteIl sera tenu compte dans la correction de la pr¶esentation et de la r¶edaction correcte desd¶emonstrations.Exercice 1 (Questions de cours) - 6 pointsi) Soient E et F, 2 ...

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• Publié par: shin
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Extrait

UTBM -MT12 -le 5 Novembre 2007

M´edian Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dige´ea`lamain Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diffe´rente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapre´sentationetdelare´dactioncorrectedes d´emonstrations.

Exercice 1(Questions de cours) - 6 points i) SoientEetF, 2 espaces vectoriels surCavecdim C E= 2etdim C F= 3. Peut- on trouver unetiecveriaejnienoit´nililacappdeEdansFqui ne soit pas surjective? Justifier. [ oui. Si{a 1 , a 2 }et une base deEet{b 1 , b 2 , b 3 }est une base deF, il suffit deconsid´ererl’applicationlin´eairequienvoiea 1 surb 1 eta 2 surb 2 .] 3 ii) Peut-on trouver une familleF={f 1 , f 2 , f 3 }deRtelle que{f 1 , f 2 },{f 2 , f 3 }et {f 1 , f 3 }soient toutes les trois libres etFso?ee´iltiJustifier.     1 0 1     [ oui. Par ex.{a 1 = 0 , a 2 = 1 , a 3 = 1 }euqea`2nocntats.O 0 0 0 2lesvecteursnesontpascoline´aireseta 1 +a 2 =a 3 donc la famille n’est pas libre.]        1 0 10 1 1        iii) SoitF=vect{ 0 , 1 , 2 }etG=vect{ 0 , 2 , 2 }, 0 0 31 0 4 3 sous-espaces vectoriels deR. Quelle est la dimension deF∩G?Justifier.     1 0 1 3     [Onve´rifiefacilementque{ 0 , 1 , 2 }est libre doncF=R 0 0 3     0 11     doncG⊂FdoncF∩G=G. Or 4. 0 + 2= 2 }doncdim(G) = 1 04 2.] iv)De´terminer,sans calculs fastidieux-iopruemeteddrersppanednocselleuqa`,sp tions surm∈R   2 2 m1+ 1m 2 2   det m+ 21m = 0 + 1 . 2 2 m+m−1m−3m+ 2 [lapremi`erecolonne´egalelasommedesdeuxautresdonclede´terminant est nul.]

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