Deuxième composition de Mathématiques 2001 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 02 août 2008
• Nombre de lectures: 86
• Langue: Français

Extrait

c A vos cours 2001

Recrutementdeprofesseurscertifi´es etconcoursd’acc`es`adeslistesd’aptitude CAFEP/CAPES SESSION 2001

Concours EXTERNE DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

(Dure´e:5heures)

L’usagedelacalculatricedepocheestautoris´ee-ycomprisprogrammable,alphanume´riqueou `a´ecrangraphique-,a`fonctionnementautonome,nonimprimante,autorise´econforme´menta`la ◦ circulairen99-186 du 16 novembre 1999.

Toutdocumentettoutautremat´eriel´electroniquesontinterdits.

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Laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnementsinterviendrontpourunepart importantedansl’appr´eciationdescopies.Lesre´sultatsindiqu´esdansl’´enonc´epeuventˆetreutilis´es parlescandidatspourlasuiteduprobl`eme. Lescandidatsdoiventreportersurleurcopie,devantleursre´ponses,lanum´erotationcomple`tedes questionsdel’e´nonc´e. Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonc´e,illesignale danssacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesinitiativesqu’ilestamene´`aprendredece fait.

Notationsetobjectifsduprobl`eme

Danstoutleprobl`emeonnote: Nl’ensemble des entiers naturels; ∗ Nl’ensemble des entiers naturels non nuls; Zl’ensemble des entiers relatifs; Ksirespuqcnroupsorecslurjoouatslee´rsedRou le corps des complexesC;

Pourtoutcoupled’e´le´mentspetqdeNtels quepueore´irlaa`´ugeesnftiq, on note :

[p, q] ={m;m∈N|p≤m et m≤q}

etpourtoute´l´ementkdeNon notekNl’ensemble des multiples deksoit :

kN={m∈N| ∃n∈N, m=kn}.

On note :S(K´’dsetiussedelbmseenl’)sdementel´eK. Une suiteu= (u n ) n∈N (s,pareofraonsiee´tu n ). On rappelle queS(K) est muni d’une structure d’espace vectoriel surKsdleurpoerp´xoeusntaoi suivantes : ∀u= (u n ),∀v= (v n ),∀λ∈K, u+v= (u n +v n )et λu= (λu n ) Onditqu’un´ele´mentudeS(Kstxieuedqursle’ixtelin´ea´ecurreneredxuolrideo’drretiusenutse) e´le´mentsaetbdeNtels que :∀n∈N, u n+2 =au n+1 +bu n (1) Si une suite (u n ) n∈N btseeneinetnxeud´eige`’paraitdrruna1g,larelation(1)n’tdesn’quiefin´e ∗ ∗ que pourndansN.

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L’objetduproble`meestd’e´tudiercertainsaspectsdessuitesre´currentesline´airesd’ordredeux. Lapremie`repartieconcerneleurspropri´et´esge´ne´rales,etproposequelquesexemplesparmilesquels lasuiteditedeFibonaccid´efiniepar: F 0 = 0, F 1 = 1;∀n∈N, F n+2 =F n+1 +F n . LespartiesII,IIIetIVsontind´ependanteslesunesdesautresetconcernentdesproble`mesparti- culiers dans lesquels interviennent de telles suites.

- I - ETUDE GENERALE ET EXEMPLES Dans cette partieaetbxfie´dsel´ementssontdeux´eK, et on noteR(a, bnemestsede´le´ns’eblem)l deS(K.)nOno1(alitalerfient´eriquiv)qitsire´tcaracnotiuaeqa´erllpeapvanteo`ueu’le´uqtaoisniut est l’inconnue :tz−at−b= 0(C)

I.A. I.A.1 .Montrer que pour toutxet toutydeKtenexisilqinunuetme´le´euu= (u n ) deR(a, b) tel que :u 0 =xetu 1 =yeranot´eme´lstneC.e´teU(x, y) .

I.A.2. MontrerqueR(a, b) est un sous-espace vectoriel deS(K) et que l’application : 2 U:KR→−(a, b) (x, y)→−7U(x, y) 2 est un isomorphisme deKsurR(a, blednoisnvecapse’elritoec.)End´eduireladimeR(a, b).

I.B. n I.B.1.a. Soitrl´emun´eeentdK. Montrerque la suite (re´em´nleseut)dentR(a, b) si et seulement sirlostseno(’´equatiutiondelC).

n I.B.1.b.Montrerquesil’´equation(C) admet une racine doubler, alors la suite (nr) appartient a`R(a, b).

I.B.2.a.Onsupposequel’e´quation(C) admet deux racines distinctesr 1 etr 2 dansK. Montrer n n que les deux suites (r) et (r) forment une base deR(a, b) . 1 2

I.B.2.b. Onsuppose que (C) admet dansKune racine doublerMontrer que les deuxnon nulle. n n suites (r) et (nr) forment une base deR(a, b)D.o`u(cesanalsC) admet 0 pour racine double, donner une base deR(a, b).

I.B.2.c. Pourcette question,Kest le corpsRsuppose que (. OnC) admet deux racines complexes iα−iα nonr´eellesreetre`ourseutelnonr´eetnnulαetlee´rn0euqlu≤α≤π. Montrerque les n n deux suites (rcosnα) et (rsinnα) forment une base deR(a, b).

I.C.Exemples.

I.C.1.a.D´eterminer,pourtoutentiernatureln, le nombre de FibonacciF n en fonction den.

I.C.1.b. Lorsquenonnerun´equivalenevdrelsi’finind,telpmistnedF n en fonction du nombreϕ √ 1 +5 (dit nombre d’or) :ϕ= . 2

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I.C.2. Soitα,β,γedstnoitrme´eels´Ktout entier. Pournag`luoe´nnto1eao,suieurp´erM n la matricecarr´eed’ordrendont le termem i,j e´utislansdaiigelemi`en-tealj`imecelo-onn´eonneestd par :  m i,j =α sii=j   m i,j =β sii=j−1 ∀i∈[1, n],∀j∈[1, n], . m i,j =γ sii=j+ 1   m i,j = 0sinon On note enfinD n inantdelamatricelmrete´deM n .

I.C.2.a. Montrerque la suite (D n ) n∈N re´vuefiierenord’reai´einelncerruce´rednoitaleuueqxrdde ∗ l’onpr´ecisera.Quellevaleurdoit-ondonner`aD 0 onl’uhsosi´eepariteindexinurenusiaetboetN quive´rifielamˆemerelationdere´currence? ∗ I.C.2.b. Onsupposeβ=γPour tout= 1.ndeN, calculer explicitementD n lorsqueαlaest´eg √ a`2,puislorsqueαse´tgelaa`2. I.C.3. SoitM:e4lamatrrecilee´’delrdro   1 1 1 1 1 1 0 0 1  M=   2 10 0 1 1 1 1 1 2 33 2 I.C.3.a. CalculerMetMte,equrefiire´vMsteaiinmbcoairedesonlin´eMet deM. n I.C.3.b. Montrerque pour tout entierne´puueirsirecamat`a1legalrou´Me´rctu’sepaslouesir n2 forme :M=a n M+b n Met calculera n+1 etb n+1 en fonction dea n etb n . I.C.3.c. Montrerque la suite (a n ) n∈N e´ialenirorder’dx,etedeufiire´valerenuer´deontincreurec ∗ calculer les valeurs dea n et deb n .

I.C.3.d.Ge´n´eralisation:SoitPrtcisemyuenamedlleer´ueiqtr´e.2gnare i. ProuverquePnstamecont.orsiultstsres,napolyleunannuaepuge´rdedeˆnmo n ii.Ens’inspirantdescalculspr´ec´edents,montrerqu’ilestpossibled’obtenirlamatriceP pour tout entiern’duautreffeceassnl`a1´egaurouerieseleuqleiictrmaitduroeptrp´su 2 3 calculs dePet deP.

- II - RESOLUTION D’UNE EQUATION DE PELL-FERMAT Cettepartiemontresurunexemplel’interventiondessuitesre´currenteslin´eairesd’ordredeux danslar´esolutiondes´equationsditesdePell-Fermat. 2 Oncherchetouteslessolutionsappartenant`aNtionequael’´dtn:eiuav2(s) 2 2 x−5y= 1(2) Parabusdelangage,l’expressionsolutionde(2)de´signeraseulementcetypedesolutions. −→−→ II.A. Dans le plan euclidienPre`ethoridunepurm´m(enoroO;ji ,rel’id`econs)onelobrepyhH 2 22 d’e´quation:x−5y.L=1(clon´eeseml´tsenqeauitno2(s)nodtessolutionsdel’´x, y) deNqui