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Deuxième composition de Mathématiques 2001 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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cA vos cours 2001
Recrutementdeprofesseurscerti´es etconcoursdacc`es`adeslistesdaptitude CAFEP/CAPES SESSION 2001
Concours EXTERNE DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES
(Dure´e:5heures)
Lusagedelacalculatricedepocheestautoris´ee-ycomprisprogrammable,alphanume´riqueou `a´ecrangraphique-,a`fonctionnementautonome,nonimprimante,autorise´econforme´menta`la circulairen99-186 du 16 novembre 1999.
Toutdocumentettoutautremat´eriel´electroniquesontinterdits.
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Laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnementsinterviendrontpourunepart importantedanslappr´eciationdescopies.Lesre´sultatsindiqu´esdansl´enonc´epeuventˆetreutilis´es parlescandidatspourlasuiteduprobl`eme. Lescandidatsdoiventreportersurleurcopie,devantleursre´ponses,lanum´erotationcomple`tedes questionsdele´nonc´e. Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonc´e,illesignale danssacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesinitiativesquilestamene´`aprendredece fait.
Notationsetobjectifsduprobl`eme
Danstoutleprobl`emeonnote: Nl’ensemble des entiers naturels; Nl’ensemble des entiers naturels non nuls; Zl’ensemble des entiers relatifs; Ksirespuqcnroupsorecslurjoouatslee´rsedRou le corps des complexesC;
Pourtoutcouplede´le´mentspetqdeNtels quepueore´irlaa`´ugeesnftiq, on note :
[p, q] ={m;mN|pm et mq}
etpourtoute´l´ementkdeNon notekNl’ensemble des multiples deksoit :
kN={mN| ∃nN, m=kn}.
On note :S(K´dsetiussedelbmseenl)sdementel´eK. Une suiteu= (un)nN(s,pareofraonsiee´tun). On rappelle queS(K) est muni d’une structure d’espace vectoriel surKsdleurpoerp´xoeusntaoi suivantes : u= (un),v= (vn),λK, u+v= (un+vn)et λu= (λun) Onditquun´ele´mentudeS(Kstxieuedqursleixtelin´ea´ecurreneredxuolrideodrretiusenutse) e´le´mentsaetbdeNtels que :nN, un+2=aun+1+bun(1) Si une suite (un)nNbtseeneinetnxeud´eige`paraitdrruna1g,larelation(1)ntdesnquien´e que pourndansN.
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Lobjetduproble`meestde´tudiercertainsaspectsdessuitesre´currentesline´airesdordredeux. Lapremie`repartieconcerneleurspropri´et´esge´ne´rales,etproposequelquesexemplesparmilesquels lasuiteditedeFibonaccid´eniepar: F0= 0, F1= 1;nN, Fn+2=Fn+1+Fn. LespartiesII,IIIetIVsontind´ependanteslesunesdesautresetconcernentdesproble`mesparti-culiers dans lesquels interviennent de telles suites.
- I - ETUDE GENERALE ET EXEMPLES Dans cette partieaetbxe´dsel´ementssontdeux´eK, et on noteR(a, bnemestsede´le´nseblem)l deS(K.)nOno1(alitalerent´eriquiv)qitsire´tcaracnotiuaeqa´erllpeapvanteo`ueule´uqtaoisniut est l’inconnue :tzatb= 0(C)
I.A. I.A.1 .Montrer que pour toutxet toutydeKtenexisilqinunuetme´le´euu= (un) deR(a, b) tel que :u0=xetu1=yeranot´eme´lstneC.e´teU(x, y) .
I.A.2. MontrerqueR(a, b) est un sous-espace vectoriel deS(K) et que l’application : 2 U:KR(a, b) (x, y)7U(x, y) 2 est un isomorphisme deKsurR(a, blednoisnvecapseelritoec.)End´eduireladimeR(a, b).
I.B. n I.B.1.a. Soitrl´emun´eeentdK. Montrerque la suite (re´em´nleseut)dentR(a, b) si et seulement sirlostseno(´equatiutiondelC).
n I.B.1.b.Montrerquesil´equation(C) admet une racine doubler, alors la suite (nr) appartient a`R(a, b).
I.B.2.a.Onsupposequele´quation(C) admet deux racines distinctesr1etr2dansK. Montrer n n que les deux suites (r) et (r) forment une base deR(a, b) . 1 2
I.B.2.b. Onsuppose que (C) admet dansKune racine doublerMontrer que les deuxnon nulle. n n suites (r) et (nr) forment une base deR(a, b)D.o`u(cesanalsC) admet 0 pour racine double, donner une base deR(a, b).
I.B.2.c. Pourcette question,Kest le corpsRsuppose que (. OnC) admet deux racines complexes nonr´eellesreetre`ourseutelnonr´eetnnulαetlee´rn0euqluαπ. Montrerque les n n deux suites (rcos) et (rsin) forment une base deR(a, b).
I.C.Exemples.
I.C.1.a.D´eterminer,pourtoutentiernatureln, le nombre de FibonacciFnen fonction den.
I.C.1.b. Lorsquenonnerun´equivalenevdrelsinind,telpmistnedFnen fonction du nombreϕ 1 +5 (dit nombre d’or) :ϕ= . 2
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I.C.2. Soitα,β,γedstnoitrme´eels´Ktout entier. Pournag`luoe´nnto1eao,suieurp´erMnla matricecarr´eedordrendont le termemi,je´utislansdaiigelemi`en-tealj`imecelo-onn´eonneestd par : mi,j=α sii=j mi,j=β sii=j1 i[1, n],j[1, n], . mi,j=γ sii=j+ 1 mi,j= 0sinon On note enfinDninantdelamatricelmrete´deMn.
I.C.2.a. Montrerque la suite (Dn)nNre´vueierenordreai´einelncerruce´rednoitaleuueqxrdde lonpr´ecisera.Quellevaleurdoit-ondonner`aD0onluhsosi´eepariteindexinurenusiaetboetN quive´rielamˆemerelationdere´currence? I.C.2.b. Onsupposeβ=γPour tout= 1.ndeN, calculer explicitementDnlorsqueαlaest´eg a`2,puislorsqueαse´tgelaa`2. I.C.3. SoitM:e4lamatrrecilee´delrdro   1 1 1 1 1 10 0 1 M=   2 10 0 1 1 1 1 1 2 33 2 I.C.3.a. CalculerMetMte,equreire´vMsteaiinmbcoairedesonlin´eMet deM. n I.C.3.b. Montrerque pour tout entierne´puueirsirecamat`a1legalrou´Me´rctusepaslouesir n2 forme :M=anM+bnMet calculeran+1etbn+1en fonction deanetbn. I.C.3.c. Montrerque la suite (an)nNe´ialenirorderdx,etedeuire´valerenuer´deontincreurec calculer les valeurs deanet debn.
I.C.3.d.Ge´n´eralisation:SoitPrtcisemyuenamedlleer´ueiqtr´e.2gnare i. ProuverquePnstamecont.orsiultstsres,napolyleunannuaepuge´rdedeˆnmo n ii.Ensinspirantdescalculspr´ec´edents,montrerquilestpossibledobtenirlamatriceP pour tout entiernduautreeceassnl`a1´egaurouerieseleuqleiictrmaitduroeptrp´su 2 3 calculs dePet deP.
- II - RESOLUTION D’UNE EQUATION DE PELL-FERMAT Cettepartiemontresurunexemplelinterventiondessuitesre´currenteslin´eairesdordredeux danslar´esolutiondes´equationsditesdePell-Fermat. 2 Oncherchetouteslessolutionsappartenant`aNtionequael´dtn:eiuav2(s) 2 2 x5y= 1(2) Parabusdelangage,lexpressionsolutionde(2)de´signeraseulementcetypedesolutions. II.A. Dans le plan euclidienPre`ethoridunepurm´m(enoroO;ji ,relid`econs)onelobrepyhH 2 22 de´quation:x5y.L=1(clon´eeseml´tsenqeauitno2(s)nodtessolutionsdel´x, y) deNqui