Deuxième épreuve 2002 Classe Prepa MP Ecole de l'Air

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Examen du Supérieur Ecole de l'Air. Sujet de Deuxième épreuve 2002. Retrouvez le corrigé Deuxième épreuve 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002
• École de l'air

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

L'objet du problème est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes (appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes. Dans la troisième partie, on considère le cas général. Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notéeO, d'axesOxetOyet on désigne paraun nombre réel strictement positif donné.

PARTIE I On désigne parDla droite d'équationx=2aet parCle cercle de centreM 0 (–2a, 0), de rayon 2a. Pour tout nombre réelθ, on désignera par : *H(θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite d'angle polaireθet de la droiteD. *M(θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaireθ etdu cercleCla convention que (avec lorsqu'il y a deux points d'intersection,M(θ) désigne le point d'intersection distinct deO).

1°)Etude de la strophoïde droite a) Donnerune équation cartésienne, puis une équation polaire du cercleC. b) Déterminerdes coordonnées polaires deM(θ) etH(θ), puis du milieuI(θ) du segment [M(θ),H(θ)]. En déduire, lorsqueθvarie, queI(θ) décrit la courbe d'équation polaire : cos(2θ) r(θ)=−a . cos(θ) c) Exprimerr(θ+ 2), r(+θ),r(–θ) en fonction der(θ). Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle partieEde IR il suffit d'étudier la courbe pour obtenir la totalité de son support. d) Déterminerla limite der(θ)sin(θ–/2) lorsqueθtend vers/2. Qu'en déduit-on géométriquement? e) Etudierle signe der(θ) pourθ∈E, représenter sur une même figure la droiteD, le cercleC, et le support de cette courbeθ→I(θ). f) Calculerl'aire de la boucle délimitée par la courbeθ→I(θ). g) Donnerenfin une équation cartésienne du support de la courbeθ→I(θ).

PARTIE II On désigne parDla droite d'équationx= 2aet parCle cercle de centreM 0 (–a, 0), de rayona. Pour tout nombre réelt, on désignera par : *H(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet de la droiteD. *M(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet du cercleC(avec la convention que lors- qu'il y a deux points d'intersection,M(t) désigne le point d'intersection distinct deO).

2°)Etude de la cissoïde droite a) Donnerune équation cartésienne du cercleC. b) Déterminerles coordonnées deM(t) etH(t), puis du milieuJ(t) du segment [M(t),H(t)]. c) Déterminerle vecteur-dérivé à la courbet→J(t), puis en déduire les points stationnaires (c'est à dire non réguliers) de celle-ci et calculer le second vecteur dérivé au point de paramètret= 0. 2 3 En déduire que la tangente à la courbet→J(t) au pointJ(t 0 ) a pour équationt 0 (t 0 + 3)x– 2y=at 0 . d) Dresserle tableau des variations des coordonnéesx(t),y(t) du pointJ(t) pourt∈IR + , et représenter sur une même figure la droiteD, le cercleC, et le support de cette courbet→J(t). e) Donnerenfin une équation cartésienne du support de la courbet→J(t).

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3°)Alignement de points sur la cissoïde droite a) Montrerque trois points de coordonnées (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), (x 3 ,y 3 ) sont alignés si et seulement si : x y1 1 1 x y1=0 . 2 2 x y1 3 3 b) Factoriserle déterminant suivant oùt 1 ,t 2 ,t 3 désignent trois nombres réels donnés : 2 32 at at1+t 1 11 2 32 D(t,t,t)=at at1+t . 1 2 32 22 2 32 at at1+t 3 33 En déduire à quelle condition nécessaire et suffisante portant surt 1 ,t 2 ,t 3  troispoints distincts de paramètrest 1 ,t 2 ,t 3 appartenant au support de la courbet→J(t) sont alignés. c) LadroitepassantparJ(t 0 )etJ(t 0 +ε)recoupelesupportdela courbet→J(t) en un point dont on note le paramètret(ε). Exprimert(ε) à l'aide det 0  etεet préciser la limite det(ε) lorsqueε tendvers 0. En déduire que la tangente enJ(t 0 ) à la courbet→J(t) recoupe le support de celle-ci enJ(–t 0 /2), et que les tangentes en trois points alignés recoupent le support de la courbe en trois points alignés.

PARTIE III On considère un pointM 0 (x 0 ,y 0 ) distinct deOet on désigne alors parDla droite d'équationx= 2a et parC(x 0 ,y 0 ) le cercle de centreM 0 (x 0 ,y 0 ) passant parO. Pour tout nombre réelt, on désignera par : *H(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet de la droiteD. *M(t) le point d'intersection de la droite d'équationy=txet du cercleC(x 0 ,y 0 ) (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection,M(t) désigne le point d'intersection distinct deO).

4°)Etude générale des cubiques circulaires a) Déterminerles coordonnées deM(t) etH(t), puis du milieuK(t) du segment [M(t),H(t)]. b) Etudierles branches infinies de la courbet→K(t). c) Aquelle condition surM 0 (x 0 ,y 0 ) l'origineOappartient-elle au support de la courbet→K(t) ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante. d) Aquelle condition surM 0 (x 0 ,y 0 ) la courbe a-t-elle un point double ? Quel est alors ce point double ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante. e) Aquelle condition surM 0 (x 0 ,y 0 ) la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est à dire non régulier) ? Quel est alors ce point stationnaire ? Représenter graphiquement la zone du plan correspondante.

5°)Alignement de points sur une cubique circulaire a) Montrerque trois points distincts de paramètrest 1 ,t 2 ,t 3 appartenantausupportdelacourbet→K(t) sont alignés si et seulement s'il existe un triplet (u,v,w)≠(0, 0, 0) tels quet 1 ,t 2 ,t 3 vérifient : 3 2 avt+(au+y v+w)t+(y u+x v+av)t+(x u+au+w)=0  (1≤i≤3). i0i0 0i0 3 2 Vérifier queavX+(au+y 0 v+w)X+(y 0 u+x 0 v+av)X+(x 0 u+au+w)=av(X–t 1 )(X–t 2 )(X–t 3 ), puis montrer que les trois égalités précédentes sont équivalentes à une relation entre les nombres σ 1 =t 1 +t 2 +t 3 ,σ 2 =t 1 t 2 +t 2 t 3 +t 3 t 1 etσ 3 =t 1 t 2 t 3 qu'on demande d'expliciter. Retrouver ainsi le résultat obtenu dans le cas particulier de la cissoïde à la question II.3°. b) Endéduire que la tangente enK(t 0 ) à la courbet→K(t) recoupe le support de celle-ci en un point dont on précisera le paramètre en fonction det 0 .

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