E3A 2001 mathematiques a classe prepa pc

Description

1. 4990 74JH ‘Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 1 PC durée 3 heures Exercice 1 Pour une fonction f à valeurs réelles et continue sur I = [0, l]. on recherche les fonctions y de classe C2 sur I vérifiant le système : y" - y = f sur I. tp> Y(O) = Y’(O), i Y(l) = -Y’(l)- On pose pour toute fonction g à valeurs réelles et continue sur I : 11 g 11 = sup { Ig (2) 1 1 2 E I}. On rappelle que le théorème de Cauchy assure l’existence de solutions de classe C2 pour l’équation différentielle y” - y = f sur 1. 1 O. On note sp une solution particulière de l’équation différentielle y” - y = f sur 1. Déterminer en fonction de sp,la générale de cette équation. 2O. Exprimer la solution du système (P) (dont on démontrera l’unicité) à l’aide de sp et de SP’. 3”. Résoudre (P) dans chacun des cas suivants f( 5) = 2, puis f( xc> = x2. 4”. Démontrer que si f est arbitraire la solution de (P) est la fonction T(f) définie sur I par I’égalité : à (x> = -$ J’ f(t).-‘dt - 5 Jo’ f(t>e” dt. z 1 Tournez la page S.V.P. 5 O. Démontrer l’inégalité pour toutes les fonctions f à valeurs IIW>ll c (1 - 5) Ilfll réelles et continues sur I = [0, 11. 6”. Soit pour cette question f(z) = ln (1 + xc>, et Q le polynôme de degré deux réalisant un développement limité de f au voisinage de 0. (a) Démontrer I’inégtité I/f - &II < i. (b) En déduire une fonction g de classe C2 sur I vérifhnt 11 g - T( f ) II < -$. Exercice 2 On considère une suite bornée (a,) ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

Y(O) = Y’(O), i Y(l) = -Y’(l)- On pose pour toute fonction g à valeurs réelles et continue sur I : 11 g 11 = sup { Ig (2) 1 1 2 E I}. On rappelle que le théorème de Cauchy assure l’existence de solutions de classe C2 pour l’équation différentielle y” - y = f sur 1. 1 O. On note sp une solution particulière de l’équation différentielle y” - y = f sur 1. Déterminer en fonction de sp,la générale de cette équation. 2O. Exprimer la solution du système (P) (dont on démontrera l’unicité) à l’aide de sp et de SP’. 3”. Résoudre (P) dans chacun des cas suivants f( 5) = 2, puis f( xc> = x2. 4”. Démontrer que si f est arbitraire la solution de (P) est la fonction T(f) définie sur I par I’égalité : à (x> = -$ J’ f(t).-‘dt - 5 Jo’ f(t>e” dt. z 1 Tournez la page S.V.P. 5 O. Démontrer l’inégalité pour toutes les fonctions f à valeurs IIW>ll c (1 - 5) Ilfll réelles et continues sur I = [0, 11. 6”. Soit pour cette question f(z) = ln (1 + xc>, et Q le polynôme de degré deux réalisant un développement limité de f au voisinage de 0. (a) Démontrer I’inégtité I/f - &II < i. (b) En déduire une fonction g de classe C2 sur I vérifhnt 11 g - T( f ) II < -$. Exercice 2 On considère une suite bornée (a,) ..." />