E3A 2003 mathematiques b classe prepa mp

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Z25K J. 5037 CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques B MP durée 3 heures L‘usage de la calculatrice est interdit Exercice 1 1. Soit E un espace vectoriel sur le corps C de dimerisioii fiiiie 72 > O. Soit u un endomorphisme de E de rang 1. (i) En discutant sur la dimension de Imu n Keru, montrer que E = Irriu @ Keru ou 11nu c Keru. (ii) Soit e un vecteur non iiul de Irnu. .Justifier l’existence d’une base de E doiit le premier est e. Dans le cas où Iiiiu C Keru, quelle est la fornie de la niatrice de 21 sur une telle base? (ii) Daris le cas oii Imu c Keru, montrer que Tr(u) = O. (iii) Montrer alors l’éyuivalences des trois assertions : (a) ti est diagonalisable. (b) E = Imzi @ Keru. (4 Wu) # 0. On nc e Mn(C) le C-espace vectoriel des matrices (n,n) à coefficieiits dans C. On note Mn(C)* le tlual de M,(C), c’est à dire l’espace vectoriel des formes linéaires sur Mn(C). 1 -l’ourlkez la puge S.V.1’. 2. Soit A dans M,(@). On note FA l’application définie sur Mn(C) par : VX E M,(C), F’(X) = TT(AX), où T?.(AX) désigne la trace de la matrice AX. (i) Montrer que FA est une forme linéaire sur M,(C). (ii) On considère l’application F definie par : Montrer que F est linéaire. (iii) Soit (&,j) (il j) E{ 1 ,..., n) x {I,. .. ,n) la base canonique de &(@) (on rappelle que la matrice &,j est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, excepté le (z,j)- ième qui est égal à 1). Pour tout (i,j) E (1, ..., n} x (1, ..., n}, ...

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• Publié par: aiolos
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