EA 2003 premiere epreuve classe prepa mp

ANNEE 2003CONCOURS D’ADMISSIONAL’ECOLE DE L’AIRCONCOURS MPPREMIERE EPREUVEDEMATHEMATIQUESDurée : 4 heuresCoefficient : 13L’attention des candidats est attirée sur le faitque la notation tiendra compte du soin et de larigueur apportés dans le travail.Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui semblerune erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons desinitiatives qu’il a été amené à prendre.T.S.V.P.÷ççq"qçqp˛÷˛åp-"÷åæqpq÷qå˛"åöåpqpåöaæqłaç˛òqç"ł˛÷q‰¥˛åpqŁqçfłqæqppòpŁ-çòłp÷pŁföq÷‰Ł‰på-qçpqpç-öò÷pqf÷˛qq‰"pfq˛˛q"qæLe but de ce problème est d’établir certains résultats classiques relatifs aux fonctions périodiqueset aux séries de Fourier puis d’étudier les coefficients de Fourier de certaines fonctions qui ne sont pas de1classe C par morceaux.On rappelle les notations usuelles utilisées pour l’expression des coefficients de Fourier d’unefonction f continue et 2 périodique :1 - ikxc (f) = dx,f(x)ek21 1a (f) = f(x) cos(kx) dx , b (f) = f(x) sin(kx) dxk k1-Préliminaire1sin((n+ ) )n 2ik1. Montrer que, n IN, IR\2 Z, e = .k=–n sin( )2p n n ik ik2. Pour n IN*, développer e sous la forme e où k,n p = 0 k = –p k = –n les sont des réels à déterminer. k,n1(sin(p + ) )n 23. En considérant , montrer que :p = 0 sin( )22n + 1n sin . 2k 1ikn IN ...