Ecricome 2001 mathematiques classe prepa hec (eco)

ECRICOMEBanque d’´epreuves ´ecrites communes aux concours des EcolesESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN NancyCONCOURS D’ADMISSION 2001Option ´economique´MATHEMATIQUESMardi 24 avril 2001 de 8h 00 a` 12h 00Dur´ee : 4 heuresAucun instrument de calcul n’est autoris´e.A document n’est autoris´e.Les candidats sont invit´es a` soigner la pr´esentation de leur copie, `a mettre en ´evidence les prin-cipaux r´esultats, `a respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes(mais br`eves) de leurs affirmations.1. EXERCICE.Dans cet exercice on ´etudie l’´evolution au cours du temps d’un titre dans une bourse de valeurs.1.1. Le but de la premi`ere partie est de calculer les puissances successives de la matrice : 1−2a a a M(a) = a 1−2a aa a 1−2aou` a repr´esente un nombre r´eel.1. Montrer que, pour tous r´eels a, b, on a : M(a).M(b) =M(a+b−3ab).2. En d´eduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est inversible et exprimer son inverse.3. Justifier le fait que M(a) est diagonalisable.4. D´eterminer le r´eel a non nul, tel que :02[M(a )] =M(a )0 05. On consid`ere les matrices :P =M(a ) et Q =I−P0ou` I d´esigne la matrice carr´ee unit´e d’ordre 3.1(a) Montrer qu’il existe un r´eel α, que l’on exprimera en fonction de a, tel que :M(a) =P +αQ2 2(b) Calculer P , QP, PQ, Q .n(c) Pour tout entier naturel n, non nul, montrer que [M(a)] s’´ecrit comme combinaison lin´eaire de Pet Q.n(d) ...