Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (eco)

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1 EXERCICEECRICOME 2004Voie Eco1 EXERCICESoient f la fonction num´erique de la variable r´eelle d´efinie par :1∀x∈R, f (x) = √21+xet (u ) la suite de nombres r´eels d´etermin´ee par :n(R1u = f (x)dx0 0 R1∗ n∀n∈N , u = x f (x)dxn 0 ~ ~On noteC la repr´esentation graphique de f, relativement a` un rep`ere orthonormal O,i,j .f1.1 Etude de f.1. Montrer que la fonction f est paire surR2. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0,+∞[3. D´eterminer la lmite de f lorsque x tend vers +∞.4. Montrer que f est born´ee surR5. Donner l’allure deCf6. Montrer que f r´elaise une bijection de l’intervalle [0,+∞[ sur un intervalle J `a pr´eciser.7. Pour touty de l’intervalle ]0,1], d´eterminer l’unqiue r´eelx appartenant `a l’intervalle [0,+∞[ tel que:f (x) =y−18. D´eterminer alors la bijection r´eciproqie f1.2 Calcul d’aireOn consid`ere la fonction num´erique F de la variable r´eelle x d´efinie par : √2F (x) = ln x+ x +1Pour tout r´eel λ strictement positif, on noteA(λ) l’aire (exprim´ee en unit´e d’aire) du domaine constitu´epar l’ensemble des points M (x,y) tels que :λ≤x≤ 2λ et 0≤y≤f (x)ainsi Z 2λA(λ) = f (x)dxλEcricome-2004-e Page 1/ 51.3 Etude de la suite (u ). 2 EXERCICEn1. Montrer que : √2∀x∈R, x+ x +1> 0En d´eduire l’ensemble de d´efinition de F.2. Montrer que F est une primitive de f surR3. Montrer que F est impaire sur son ensemble de d´efinition.4. D´eterminer la limite deF lorsquex tend vers +∞. En d´eduire la limite deF quandx ...

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ECRICOME 2004 Voie Eco

1 EXERCICE

1 EXERCICE Soientfavaredeler´eiabl´dfieleelra:inpeafltcnonnoie´muuqir 1 ∀x∈R, f(x) = √ 2 1 +x et (u n ledse´etbmerrse´ar:rmin´eepsal)onedetiu ( R 1 u 0 =f(x)dx 0 R 1 ∗n ∀n∈N, u n =x f(x)dx 0   ~ ~ On noteC f estnrpe´aleruedephiqngraatiof,alrma`tnemevitalernohorteoerp`reunO, i, j.

1.1 Etudedef. 1. Montrerque la fonctionfest paire surR 2. Etudierles variations defsur l’intervalle [0,+∞[ 3.D´eterminerlalmitedeflorsquextend vers +∞. 4. Montrerquef´neeusrsebtroR 5. Donnerl’allure deC f 6. Montrerquefjebineeuisla´er0lle[reavi’tndnletcoi,+∞[ sur un intervalleJ.sirer´ec`ap 7. Pourtoutyde l’intervalle ]0,1],’unqiuer´eelte´dlrenimrexalrv[0leappraetantna`’lniet,+∞[ tel que : f(x) =y −1 8.De´termineralorslabijectionre´ciproqief

1.2 Calculd’aire Onconside`relafonctionnume´riqueFee´rellvariabledelaxfie´dpein:ar   √ 2 F(x) = lnx+x+ 1 Pourtoutr´eelλstrictement positif, on noteA(λe(pxiaereeneir´m)l’iamoocenitsne´utitund’´ereaiud)d par l’ensemble des pointsM(x, y) tels que : λ≤x≤2λet 0≤y≤f(x) ainsi Z 2λ A(λ) =f(x)dx λ

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