Ecricome 2004 mathematiques classe prepa hec (s)

Ecricome 2004, option scientifique.EXERCICE 1M (R) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels (n> 1) et Enl’espace vectoriel des polynˆomes a` coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1.Onconsid`ereunematriceS deM (R)admettantnvaleurspropresr´eellesλ ,λ ,...,λ distinctesn 1 2 ndeux a` deux.L’objet de l’exercice est de montrer que, si k est un entier naturel impair et si une matrice A dekM (R) commute avec S , alors elle commute avec S.nDans la derni`ere question on ´etudiera un contre-exemple.−11) Justifier l’existence d’une matrice P inversible telle que la matrice P SP soit une matriceD diagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impair k est fix´e.n2) On consid`ere l’application f de E dans R qui `a tout polynˆome T fait correspondre lenvecteur deR d´efini par :k k kf(T) = T(λ ),T(λ ),...,,T(λ )1 2 na) Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.b)En d´eduire l’existence d’un unique polynˆome U de E tel que :k k kU(λ =λ , U(λ ) =λ ,...,U(λ ) =λ1 2 n1 2 nk3) Prouver que le polynˆome R, d´efini par R(X) =U(X )−X est un polynomˆ e annulateur deD puis de S.k k4) Soit une matrice A deM (R) v´erifiant AS =S A.npk pka) Montrer que pour tout entier naturel p, AS =S A.b)En d´eduire que les matrices A et S commutent, c’est-`a-dire que : AS =SA.5) On consid`ere les deux matrices A et S deM (R) suivantes :2 1 –1 0 1A = , S =2 2 1 0a) V´erifier que S poss`ede deux valeurs propres ...