Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOME 2005Option Economique1 EXERCICEOn consid`ere, pour tout entier naturel n, l’application ϕ d´efinie surR par :nn −2x∀x∈R, ϕ (x) = (1−x) enainsi que l’int´egrale :Z 1I = ϕ (x) dxn n0On se propose de d´emontrer l’existence de trois r´eels, a, b, c tels que :b c 1I = a+ + + ε(n) avec lim ε(n) = 0n 2 2 n→+∞n n n1. Calculer I , I .0 12. Etudier la monotonie de la suite (I ) .n n∈N3. D´eterminer le signe de I pour tout entier naturel nn4. Qu’en d´eduit-on pour la suite (I )n n∈N−2x5. Majorer la fonction g : x→ e sur [0,1]6. En d´eduire que :1∗∀n∈N , 0≤ I ≤nn+17. D´eterminer la limite de la suite (I ) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N8. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que :∀n∈N, 2I = 1−(n+1)In+1 n9. En d´eduire la limite de la suite (nI ) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N10. D´eterminer la limite de la suite (n(nI −1)) lorsque n tend vers l’infini.n n∈N11. Donner alors les valeurs de a, b, c.2 EXERCICE.On consid`ere la fonction f d´efinie par :+∗ 2∀x∈R , f (x) = x −xln(x)−1f (0) =−1le tableau de valeurs de f,x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4f (x) −0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5ainsi que les fonctions ϕ et g d´efinies par :2+∗ 2 y x∀x∈R , ϕ(x) = +ln(x), ∀(x,y)∈R , g(x,y) = xe −yexECRICOME˙eco˙2005 Page 1/52.1 Etude de deux suites associ´ees `a f.+1. Montrer que f est continue surR .2. Etudier la d´erivabilit´e de la fonction f en 0. En donner une interpr´etation graphique.+∗3. Etudier la convexit´e de f surR , puis dresser son ...

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ECRICOME 2005 Option Economique

1 EXERCICE Onconsid`ere,pourtoutentiernatureln, l’applicationϕ n rsunfieide´Rpar : n −2x ∀x∈R, ϕ n (x) = (1−x)e ainsiquel’inte´grale: Z 1 I n =ϕ n (x)dx 0 Onseproposedede´montrerl’existencedetroisr´eels,a,b,ctels que : b c1 I n =a+ ++ε(n) aveclimε(n) = 0 2 2 n→+∞ n nn 1. CalculerI 0 , I 1 . 2. Etudierla monotonie de la suite (I n ) . n∈N 3.De´terminerlesignedeI n pour tout entier natureln 4.Qu’ende´duit-onpourlasuite(I n ) n∈N −2x 5. Majorerla fonctiong:x→esur [0,1] 6.Ende´duireque: 1 ∗ ∀n∈N,0≤I n ≤ n+ 1 7.De´terminerlalimitedelasuite(I n ) lorsquentend vers l’infini. n∈N 8.Al’aided’uneinte´grationparparties,montrerque: ∀n∈N,2I n+1 = 1−(n+ 1)I n 9.End´eduirelalimitedelasuite(n I n ) lorsquentend vers l’infini. n∈N 10.De´terminerlalimitedelasuite(n(n I n −1)) lorsquentend vers l’infini. n∈N 11. Donneralors les valeurs dea,b,c.

2 EXERCICE. Onconsid`erelafonctionf:rapeifin´ed  +∗2 ∀x∈R, f(x) =x−xln (x)−1 f(0) =−1 le tableau de valeurs def, x0,5 11,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x)−0,5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5 ainsi que les fonctionsϕetge´d:arspiefin 2 +∗2y x ∀x∈R, ϕ(x+ ln () =x),∀(x, y)∈R, g(x, y) =x e−y e x

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