Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (stg)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption technologiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2005Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/4EXERCICE 1On note ’ la fonction numØrique d une variable rØelle x dØ…nie par : 1+x’(x) = ln 2x1 x1+x1. Etudier le signe du quotient suivant les valeurs du rØel x:1 x2. Justi er que l ensemble de dØ nition de ’ est l’intervalle I = ] 1;1[:3. Montrer que ’ est impaire.4. DØmontrer que pour x dans I;2x0’ (x) = 221 x5. En dØduire le tableau de variation de ’ en prØcisant les limites de ’ en 1 et en 1:6. (a) Quel est le signe de ’(x) sur l’intervalle I ?(b) Calculer la dØrivØe seconde de ’ sur I.(c) En dØduire que : 1 208x2 0; ; 06’ (x)62 3(d) Etudier la convexitØ de ’:7. On dØ nit la suite (u ) par :n n2N (1u =0 28n2N; u =’(u )n+1 n(a) On donne ln3< 1;1.1 1Montrer que si 06x6 alors 06’(x)6 , puis que :2 2 18n2N; u 2 0;n2(b) En utilisant l inØgalitØ des accroissements …nis, montrer que :28n2N; ju j6 ju jn+1 n3Puis que : n1 28n2N; ju j6n2 3(c) En dØduire la limite de la suite (u ) ...

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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option technologique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 4 pages

Année 2005

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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