EDHEC 1999 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Description

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• Langue: Français

Extrait

EDHEC 1999 S

Vendredi 7 mai 1999, de 8h `a 12h

L’´enonc´e comporte 4 pages.

Exercice 1

Pour chaque entier naturel

,

o

n

d

´efinit la fonction

par :

.

1.

´

Etude de

.

a) Montrer que

,

e

s

t

d

´erivable sur son domaine et donner son sens de variation.

b) D´eterminer

.

c) En d´eduire que pour chaque entier naturel

, il existe un unique r´eel, not´e

,

´el´ement de

, tel que

.

2.

´

Etude de la suite

.

a) Montrer que

.

b) Montrer que:

.

3. On pose

a) Montrer que

.

b) Calculer

.

c) D´eduire de l’encadrement obtenu en 2.b que

Exercice 2

Une urne contient une boule noire et

boules blanches,

d´esignant un entier sup´erieur ou

´egal `a

. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la mani`ere suivante : le premier

tirage s’effectue sans remise, le deuxi`eme s’effectue avec remise, le troisi`eme s’effectue sans remise,

le quatri`eme s’effectue avec remise... D’une mani`ere g´en´erale, les tirages d’ordre impair s’effectuent

sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tir´ee.

1.

a) Quel est le nombre total

de tirages effectu´es lors de cette ´epreuve?

b) Pour

´el´ement de

, combien reste-t-il de boules avant le

-i`eme tirage?

Combien en reste-t-il avant le

-i`eme tirage?

On d´esigne par

la variable al´eatoire qui vaut

si la boule noire est obtenue au

-i`eme tirage

(que ce soit la premi`ere fois ou non) et

sinon. On d´esigne par

la variable al´eatoire ´egale au

nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette ´epreuve.

2.

a) Calculer

,

.

b) Pour tout entier naturel

de

, calculer

et

.

c) En d´eduire la loi suivie par toutes les variables

.

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