EML 1999 mathematiques classe prepa hec (ece)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 12RnPour tout entier naturel n, on note : w = ...

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Extrait

Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 1999

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Exercice 1  R 2 n Pour tout entier natureln, on note :w n = cost dt. 0 1. Calculerw 0 etw 1 . 2. Montrerque la suite(u n ) n2N est décroissante. 3. Montrerpour tout entier natureln:w n >0. En déduire que la suite(w n ) n2N est convergente. 4. Soitn2N. Alaide dune intégration par parties, montrer que:  Z 2 n2 w n+2 = (n+ 1)costsint dt 0 n+ 1 En déduire :w=w. n+2n n+ 2 5. Montrerpour tout entier natureln, en utilisant2.et4.: n+ 1 0< w n 6w n+1 6w n n+ 2

En déduire :w n+1 w n quandn!+1. 6. Montrer,en utilisant4., que la suite(u)de terme généralu= (n+ 1)w west constante. n n2Nnn n+1 r  En déduire :w n quandn!+1. 2n

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