EML 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Description

E.M.Lyon 2002. Premi`ere ´epreuve, option scientifique.PROBLEME 1On note, pour tout entier p≥ 1 :Z p+11 1u = − dtpp tpet, pour tout entier n≥ 1 :nXa = u =u +···+un p 1 np=1´Partie I : Etude de la suite (a )n n≥11 11) Montrer, pour tout entier p≥ 1 : 0≤u ≤ − .pp p+12) En d´eduire que la suite (a ) est croissante et converge vers un r´eel, not´e γ, tel quen n≥10≤γ ≤ 1.Partie II : Expression int´egrale du r´eel γ.x´1)a)Etablir, pour tout r´eel x : 1+x≤ e .b)En d´eduire, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n : t tn nt −t1+ ≤ e et 1− ≤ en n2 t tn n−t −tpuis : 1− e ≤ 1− ≤ e .2n n´2)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel x de [0;1] :n(1−x) +nx−1≥ 0b)En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n :2t n t−t −t0≤ e − 1− ≤ en n3)a)On note, pour tout entier n≥ 1 :Z n 1 t n−tI = e − 1− dt.nt n0Justifier l’existence de I .n´b)Etablir que I tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.n´4)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 :Zn−1 nX t k1− dt =n a +ln(n+1)nn0k=0On note, pour tout entier n≥ 1 : Z n 1 t nJ = 1− 1− dt.nt n0Justifier l’existence de J , et montrer, pour tout entier n≥ 1 :nJ =a +ln(n+1).n nZ Z1 +∞−t −t1−e e5) On note : U = dt et V = dt.t t0 1a) Justifier l’existence de U et de V.b)D´emontrer : γ =U −V.PROBLEME 2Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, dont le produit scalaire est not´e h, i.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les endomorphismes ...

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E.M.Lyon2002.Premi`ere´epreuve,optionscientifique. PROBLEME 1 On note, pour tout entierp≥1 : Z p+1 1 1 u p =−dt p t p et, pour tout entiern≥1 : n X a n =u p =u 1 +∙ ∙ ∙+u n p=1 ´ Partie I :Etude de la suite(a n ) n≥1 1 1 1)Montrer, pour tout entierp≥01 :≤u p ≤ −. p p+ 1 2)(etiusaleuireq´eduEnda n ) n≥1 n,lee´toveonevrgsuer´enrtceentsaisrotcesγ, tel que 0≤γ≤1. PartieII:Expressioninte´graledur´eelγ. x ´ 1)a)rilbatEuotruop,eltr´ex+: 1x≤e . b)e´udEdnopruri,eretuotitnen≥tte1trouel´ettel que 0≤t≤n:  t  n   n t t−t 1 +≤1e et− ≤e n n 2    t n t n −t−t puis :1−e≤1− ≤e . 2 n n ´ 2)a)Etablir, pour tout entiern≥utr´eeetlto1x1] :de [0; n (1−x) +nx−1≥0 b)En utilisant1.b.et2.a., montrer, pour tout entiern≥´reel1ettoutttel que 0≤t≤n: 2   t n t −t−t 0≤e−1− ≤e n n 3)a)On note, pour tout entiern≥1 : Z  n   1t n −t I n = e−1−dt. t n 0 Justifier l’existence deI n . ´ b)Etablir queI n tend vers 0 lorsquentend vers l’infini. ´ 4)a)Etablir, pour tout entiern≥1 : n−1 Z n X  t  k   1−dt=n a n + ln(n+ 1) n 0 k=0 On note, pour tout entiern≥1 : Z  n   1t n J n = 1−1−dt. t n 0 Justifier l’existence deJ n , et montrer, pour tout entiern≥1 : J n =a n + ln(n+ 1). Z Z 1 −t +∞ − t 1−e e 5)On note :U= dtetV= dt. t t 0 1 a)Justifier l’existence deUet deV. b)De´omtnrer:γ=U−V.