EML 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

E.M.Lyon 2002. Premi`ere ´epreuve, option scientifique.PROBLEME 1On note, pour tout entier p≥ 1 :Z p+11 1u = − dtpp tpet, pour tout entier n≥ 1 :nXa = u =u +···+un p 1 np=1´Partie I : Etude de la suite (a )n n≥11 11) Montrer, pour tout entier p≥ 1 : 0≤u ≤ − .pp p+12) En d´eduire que la suite (a ) est croissante et converge vers un r´eel, not´e γ, tel quen n≥10≤γ ≤ 1.Partie II : Expression int´egrale du r´eel γ.x´1)a)Etablir, pour tout r´eel x : 1+x≤ e .b)En d´eduire, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n : t tn nt −t1+ ≤ e et 1− ≤ en n2 t tn n−t −tpuis : 1− e ≤ 1− ≤ e .2n n´2)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel x de [0;1] :n(1−x) +nx−1≥ 0b)En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n :2t n t−t −t0≤ e − 1− ≤ en n3)a)On note, pour tout entier n≥ 1 :Z n 1 t n−tI = e − 1− dt.nt n0Justifier l’existence de I .n´b)Etablir que I tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.n´4)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 :Zn−1 nX t k1− dt =n a +ln(n+1)nn0k=0On note, pour tout entier n≥ 1 : Z n 1 t nJ = 1− 1− dt.nt n0Justifier l’existence de J , et montrer, pour tout entier n≥ 1 :nJ =a +ln(n+1).n nZ Z1 +∞−t −t1−e e5) On note : U = dt et V = dt.t t0 1a) Justifier l’existence de U et de V.b)D´emontrer : γ =U −V.PROBLEME 2Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, dont le produit scalaire est not´e h, i.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les endomorphismes ...