ENAC 2004 icna epreuve optionnelle classe prepa mp

La calculatrice est autorisee.Questions liees : 1 a 7; 8 a 27; 28 a 32; 33 a 40PARTIE In etant un entier naturel et a un nombre reel non nul on pose :Z Z ax axu = e cosnx dx et v = e sinnx dxn n0 01 - u veri e pour tout n∈N :n1 axu = [e sinnx] pour n> 0n 0ana) et1 a u = (e 1)0ah i 21 n naxb) u = e cosnx sinax + un n2a a a01 axc) u = [e (acosnx+nsinnx)]n 02 2n +a1n a d) u = (( 1) e a a)n 2 2n a2 - v satisfait pour tout n∈N :n1 axa) v = [ e cosnx]n 0anh i 21 n naxb) v = e cosnx+sinnx vn n2a a 0 a1 axc) v = [e (ncosnx asinnx)]n 02 2n a1 n+1 a d) v = ( 1) ne +nn 2 2n +a3 - La valeur absolue de u est pour tout n∈N majoreee par :na |a| |a|(1+e )a) b)2 2 2 2n +a |n a |et celle de v est majoree par :na a n(1 e ) 1+ec) d)2 2a +n an4 - La suite (v ), k∈N , est equivalente a la suite de terme general :2ka 1 1+e 1 1a a) (1 e ) b) c) d)2k k 2k k5 - a) Les suites (u ) et (v ) ne peuvent ˆetre convergentes car elles ne sont pas de signen nconstant.b) Les suites (u ) et (v ) convergent car toute suite majoree est convergente.n nc) La suite (u ) converge vers 0nd) La suite (u ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limitenP POn note u (respectivement v ) la serie numerique de terme general u (respectivementn n nv )nP6 - a) La serie v converge car lim v = 02k 2kk→+∞a P P (1 e )b) La serie v est de mˆeme nature que la serie convergente2k2kPc) Laserie v diverge ...