ENAC icna epreuve optionnelle 2005 pc icna epreuve optionnelle classe prepa pc

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ICNA - SESSION 2005 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE ÉNONCÉ Questions liées. [1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18] [19,21,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40] Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repère R (Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tension zconnectée aux bornes de la diode délivre une tension continue U = V − V que l'on peut faire varier. On prendra le potentiel A C RAV de la cathode pour origine des potentiels (V = 0). C CCL'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathode econtient des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale zz rdepuis la cathode. La position M d'un électron est repérée par e hθles variables r, θ, z du système de coordonnées cylindriques de Mbase e , e , e défini sur le schéma de la figure ci-contre. er θ z rCompte tenu de la symétrie du problème, la vitesse v des Oélectrons ainsi que la charge volumique ρ de sont fonctions que yde r. x θOn rappelle que le laplacien ∆f(r) d'une fonction scalaire f(r) qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques : 1 d df (r) ∆f()r = r  r dr dr 1. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace inter-électrode. 2 2d V()r 1 dV()r ρ(r) d V(r) 2 dV(r) ρ(r)a) + + = 0 b) + + = 0 2 2r dr ε r ...

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Questions liées.

ÉNONCÉ

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18] [19,21,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]

Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repèreR (Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tension z connectée aux bornes de la diode délivre une tension continue V U C led V= A a − c  V hta C edo peul'oniretfare.avirernOpq  u p e ou  ror  iginedesopettneisl(V C  p 0 oe =   l ) r . alienttedn A R L'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathode C contient des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale e z z r l d e e s p v u a is r  i l a a b  l c e a s t r h , o θd,tsmèuys pertserapeérén'udMontrecél  sipoontie.daL lycrdnieuqiedsdeeooconrdesné e θ h z M basee r ,e θ ,e z défini sur le schéma de la figure ci-contre. e r Compte tenu de la symétrie du problème, la vitessev des O d él e e r c . t  ronsainsiquelachargevolumiqueρde sont fonctions que x θ y On rappelle que le laplacien∆f(r) d'une fonction scalaire f(r) qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques : df r ∆f r= r 1 d ( ) r dr    dr   ) 

1.obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace l'équation différentielle à laquelle  Écrire inter-électrode. a)  d 2 V 2 ( r ) + 1 dV ( r ε ρ + ) 0 r = ) 0b)  d 2 V dr 2 r ) + 2dr r V rd ρ ε ) + r = ) 0 dr r dr 0 d 2 V r 2 dV r r + −c)  dr 2  + ( ) r drε − ρ)( 0 = ) 0d)  d 2 dr V 2 r)rdV r 1 rd ) ε ρ 0 r) =0

2. Déduire de l'application du théorème de l'énergie mécanique, l'expression de la vitesse v(r) des électrons (que l'on supposera non relativistes), en fonction de leur charge−e, de leur masse m et du potentiel V(r) (on négligera la force de pesanteur devant la force électrique). a) v(r) = e V(r)b) v(r) = 2 e V m (r)c) v(r  ε ) = 0 e2 V m (r)d) v(r) = 2e m V(r) m

3. Calculerl'intensité I(r) du courant qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r, de  hauteur h et de normalen=−e r , en fonction deρet de la vitesse v(r) des électrons.(r), h, r a) I(r) = −πh rρ(r)v(r)b) I r) = −2πε 0 h r 2 ρr)v r) c) I ( r ) = − 2πh r ρ( r ) v ( r ) d) r I ) = −πε 0 h r 2 ρr ) v r ) 

4. Montrer que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : d 2 V r dV r  I K −2 r=r dr 2 ) + dr ( )  )( ( V ( r )) 1 /  Exprimer K.

AC