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Ens 1999 mathematiques classe prepa bcpst mathematiques 1999 classe prepa bcpst

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ULC 633 J. 6464 SESSION DE 1999 Groupe BCPST COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Sujet commun aux ENS d’Ulm, Lyon et Cachan DURÉE : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. RAPPELS ET NOTATIONS Pour tout (k,l) E N2, le symbole de Kronecker 6k,1 est défini par ak,/ = O si k f 1 et Lfk,/ = 1 si k = 1. Pour des entiers 1 k 5 1, on pose Ilk] =I(I-1). . .(I -k+l). Par convention, lLol = 1 . Card(J) désigne le nombre déléments d’un ensemble J, p(J) l’ensemble des parties de J, et & (S) l’ensemble des parties de J à k déments (1 I k I Card(J) ). Pour k E NI R [x] désigne l’espace vectoriel des polynômes d‘indéterminée x, de degré inférieur ou égal à k, à coefficients réels. Si (a,),EN et (b,),sN sont deux suites réelles, on dit que les termes a, et b, sont équivalents, et l‘on écrit a, - b,, s’il existe une suite réelle telle que a, = b,[l + E,] et lim E, = O . l++l La notation €(.) désigne l’espérance mathématique. Soient N EN*, et Z, Z, , Z, ,. . . , Z, des variables aléatoires à valeurs dans N définies sur un même espace de probabilité (R,A,P), telles que Z = Z, + Z,+ ...+ Z, et pour tout z E {1,2, .. ...

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