Ensmp 2006 mathematiques ii classe prepa pc mathematiques ii 2006 classe prepa pc

A 2006 MATH. II PCÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2006SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESFilière PC(Durée de l’épreuve : 3 heures)L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours :ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de lacopie :MATHÉMATIQUES II - PC.L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il est amené à prendre.6L’objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soientdeux familles de réels (a ,k = 1,··· ,n) et (b ,k = 1,··· ,n) satisfaisantk k0<a ≤a ≤a et 0<b ≤b ≤b pour tout k∈{1,··· ,n},1 k n 1 k nles inégalités suivantes sont vérifiées:n nP P2 2a bk k 2(a b +a b )k=1 k=1 n n 1 11≤ ≤ . (1) 2n 4a b a bP 1 1 n na bk kk=1On désignera dans tout le problème par:– M l’espace des matrices réelles à n lignes et p colonnes. On noten,p0 , la matrice nulle.n,p– M , l’ensemble des matrices réelles carrées d’ordre n. On note 0 , lan nmatrice nulle ...