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CONCOURS COMMUN 2006´ `DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES´Epreuve Sp´ecifique de Math´ematiques(fili`ere MPSI)Vendredi 12 mai 2006 de 08h00 `a 12h00———————————————————————Instructions g´en´erales :Les candidats doivent v´erifier que le sujet comprend 4 pages num´erot´ees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.Les candidats sont invit´es `a porter une attention particuli`ere `a la r´edaction : les copies illisibles ou malpr´esent´ees seront p´enalis´ees.Les candidats colleront sur leur premi`ere feuille de composition l’´etiquette `a code `a barres correspondante.L’emploi d’une calculatrice est interdit.Bar`eme indicatif : 10 points pour chaque probl`emeProbl`eme 1 : Analysek ∗Dans tout le probl`eme, on adopte la notation ‘n (x) ( avec k ∈ N et x ∈]0,+∞[) comme ´ecriturek 0simplifi´ee du nombre r´eel (‘n(x)) et par convention, on pose : ‘n (x) = 1 ( y compris si x = 1).Partie 1 : ´etude d’un arc param´etr´e3 2Pour tout nombre r´eel strictement positif t, on pose : x(t) = t.‘n (t) et y(t) = t.‘n (t).On pose ´egalement x(0) = y(0) = λ∈R.On souhaite ´etudier l’arc param´etr´e f : t7→ (x(t),y(t)).Le plan usuel de la g´eom´etrie est muni d’un rep`ere orthonormalR = (O,~ı,~).+SoitC l’ensemble des points du plan de coordonn´ees (x(t),y(t)) lorsque t d´ecritR .1) Pour quelle valeur de λ les fonctions x et y sont-elles continues en 0?On suppose dans la suite que λ prend cette valeur.0 02) D´eterminer, sur ]0,+∞[, les fonctions d´eriv´ees x et y puis ´etudier leur ...

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CONCOURS COMMUN 2006 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´ecifiquedeMathe´matiques (fili`ereMPSI) Vendredi12mai2006de08h00`a12h00 ——————————————————————— Instructionsg´en´erales: Lescandidatsdoiventv´erifierquelesujetcomprend4pagesnume´rot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`erea`lar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pr´esente´esserontp´enalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’e´tiquettea`code`abarrescorrespondante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit.

Bare`meindicatif:10pointspourchaqueproble`me Probl`eme1:Analyse k∗ Danstoutleprobl`eme,onadoptelanotation`n(x)( aveck∈Netx∈]0,+∞[)octureecrimme´ k 0 simplifie´edunombrer´eel(`n(x))et par convention, on pose :`n(x) = 1( y compris six= 1).

Partie1:´etuded’unarcparam´etr´e 3 2 Pourtoutnombrere´elstrictementpositift, on pose :x(t) =t.`n(t)ety(t) =t.`n(t). Onpose´egalementx(0) =y(0) =λ∈R. Onsouhaite´etudierl’arcparame´tre´f:t7→(x(t), y(t)). Leplanusueldelag´eom´etrieestmunid’unrepe`reorthonormalR= (O,~ı, ~). + SoitCedceosoprodionntesndsuepmlbanlde’l´nees(x(t), y(t))lorsquetecd´triR.

1)Pour quelle valeur deλles fonctionsxetysont-elles continues en0? On suppose dans la suite queλprend cette valeur. 0 0 2)renirus,D´eterm]0,+∞[s´veel,foestincsdonri´exety.iu´spierletudigneeurs 3)tcnosnoisddexfeuatrinsioennoDmnusnadrbltameˆevaesuleaxety. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs dexetyaux points particuliers. n n Cesvaleursserontdonne´essousl’unedestroisformessuivantes:nbien avec, oun∈Z. 2 3 e e 4)or,luerqnoleuesqertnoM´reebmerluest au voisinage du nombre0, on a :   3 23 x(1 +u)∼u y(1 +u) =u+o u Ende´duirequel’uniquepointsingulierdel’arc,obtenupourleparame`tret=t 0 rmteerin`´eadtse,nu pointderebroussementdontonpr´eciseralanature.Repr´esentersurunsch´ema,sanse´tudesuppl´ementaire, l’allure deClorsquetest au voisinage det 0 er.gu,litmseiennniopuaetnegnatalceenidevn´teantt y(t) 5)mitiellsnireetmrD´eeloesqursttend vers+∞puis vers0a`(oinelafonctdroite)dt7→. x(t) Conclurequanta`lanaturedelabrancheinfiniedel’arcainsiquesurl’existenced’unedemi-tangente`a l’arcaupointdeparam`etret= 0. 6)a)etsrceitnDo´eedterminerlespointsd’inCavec la droiteΔoitand’qu´ey=x. 6)b)TracerCtie´runuihuqrgpa,enpntporena.cme4 −2−3 Ondonnelesvaleursapproche´essuivantes(`a0,01pr`es):e'0,14ete'0,05

´ ` CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ Epreuvesp´ecifiquedeMath´ematiques(filie`reMPSI)

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