Esc 1999 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 1999 classe prepa hec (eco)

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUEAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans apprl Øciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 1Partie A : Øtude d’une fonction.2Soit f la fonction dØ…nie surR par: f(x) = ln(1+x ).On dØsigne par C sa courbe reprØsentative dans le plan muni d’un repŁre orthonormØ.1. Montrer que f est une fonction paire2. Etudier les variations de f et prØciser les limites en +1.3. Montrer que f(x) est Øquivalent à 2lnx quand x tend vers +1.En dØduire la nature de la branche in nie de C en +1.4. Etudier la concavitØ de C et calculer les coordonnØes des points d in exion.5. Construire C ainsi que ses tangentes à l abscisse 0 et aux points d’in‡exion.On donne ln2’ 0;7.Partie B : Øtude d’une intØgrale.1 2n+1R xPour n2N, on pose I = dx.n 21+x01. Calculer I .02. (a) Calculer I +I .0 1(b) En dØduire I .13. (a) Quel est le signe de I ?n1(b) Montrer que : I +I =n n+1 2n+21(c) En dØduire que : I 6 .n 2n+2(d) Montrer que la suite (I ...