Esc 1999 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 1999 classe prepa hec (s)

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION SCIENTIFIQUEAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 1Partie A 0 11 1 03 3@ ASoit u l endomorphisme de l’espace vectoriel R , de matrice M = 0 2 0 dans la base canonique deR .1 1 221. Identi er: u 3u+2Id 3.R2. DØterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de u.3. L endomorphisme u est-il diagonalisable ?Partie BE est un espace vectoriel rØel de dimension n (n> 1).2u est un endomorphisme de E vØri ant: u 3u+2Id = 0.E1. On pose: v =u Id et w =u 2Id .E E(a) Identi er (v w) et en dØduire que: E =Im(v)+Ker(w).(b) Identi er vw et wv; en dØduire que: Im(w)Ker(v) et Im(v)Ker(w).(c) Montrer que: E =Ker(v)Ker(w).(d) Prouver que u est diagonalisable.2. (a) Montrer qu’il existe deux suites (a ) et (b ) telles que:n n2N n n2Nn 08n2N; u =a u+b Id (avec la convention: u =Id ).n n E EDonner les valeurs de a ; b ; a et b .0 0 1 1(b) Etablir que: 8n2N; a = 3a 2a ...