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Esc 2001 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2001 classe prepa hec (s)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTIONSCIENTIFIQUELa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer, dans lamesure du possible, les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.1Exercice 1On d´esigne pour tout entier naturel non nul n: E =R [X], espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eelsn nqui sont soit le polynomˆ e nul , soit de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.0Pour tout polynˆome P de E , on note P le polynˆome d´eriv´e de P.nOn d´efinit sur E l’application f, qui a` tout polynˆome P associe le polynˆome f(P) d´efini par:n2 0f(P) = (X −1)P −(nX +1)P1. Propri´et´es g´en´erales.n k(a) Calculer f(X ), f(1). Calculer f(P) pour P =X , k∈{1,..,n−1} et n> 2.k kQuelles sont les valeurs de k∈{0,..,n} pour lesquelles le degr´e de X est ´egal a` celui de f(X )?(b) Montrer que f est un endomorphisme de E .nn(c) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique de E (1,X,..,X )n2. Etude pour des valeurs particuli`eres de n.(a) On suppose dans cette question seulement que n = 1.Trouver les valeurs propres ...

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Langue Français
ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´esa`encadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautorise´e.
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