Esc 2002 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2002 classe prepa hec (s)

ESC 2002. math. Option scientifique.EXERCICE 1On rappelle que lorsque Y est une variable al´eatoire admettant une esp´erance E(Y) et un ´ecart-Y −E(Y)??type non nulσ , on noteY la variable centr´ee r´eduite associ´ee `aY, d´efinie parY = .YσYSoit n un entier naturel non nul.On consid`ere n variables al´eatoires ind´ependantes X ,X ,...,X , suivant la mˆeme loi, et1 2 nadmettant une esp´erance not´ee m et un ´ecart-type strictement positif not´e σ.On pose ´egalement S =X +X +···+X .n 1 2 nEnfin on note Φ la fonction de r´epartition d’une variable suivant la loi normale centr´ee r´eduite.1)a)Montrer que S admet une esp´erance et une variance et les exprimer en fonction de n , mnet σ.?b)En d´eduire l’expression de S en fonction de S .nnDans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel β :? βp =P(|S | 0. 1β+2a) Montrer que p =P |S −nm|<σ.n .n,β n1b)Montrer en utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev que p ≥ 1− .n,β 2βnc) En d´eduire la limite de la suite (p ) ∗ .n,β n∈N4) On suppose ici que β < 0, et que X ,X ,...,X suivent la loi normale centr´ee r´eduite.1 2 n?a) Quelle est la loi de la variable S ? de la variable S ...