Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2003 classe prepa hec (eco)

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a10aaaaaa12. aaahaaa0ah1a0a2aaa1aaa111aa10a .a2aua1. 1a20a10120. En déduire a01aa22ahah1aaa001aa101aaahaaEXERCICE 1 On pose pour f [ ] par : - ˛ [ ] , f ( ) = . ( + ) f [ ] et calculer sa dérivée. f f [ ] [ ] . - note f sa bijection réciproque. -f - f = f . intégrale f ( ) , notée I . b- Déterminer deux constantes a b " ˛ [ ] , = a + + + En déduire que I = - . = que I = I . définie sur I R ì ˛ [ ] , ( ) = f ( )ï - íˇ [ ] , ( ) =ïî X une variable aléatoire réelle admettant une densité égale à . X . spérance E ( + X ) E ( X ) . E (( + X ) ) E ( X ) puis la variance ( X ) . Soit la variable aléatoire à densité T T = X t [ ] : ( T £ t ) = ( at ) . En déduire que T X . suit la même loi que H P ; de Montrer que pour tout réel . définie par (d)V Calculer l'espérance (c). En déduire l'espérance Calculer l'e (b) la fonction de répartition de la variable H On note On note probabilité. est une densité de Montrer que (a)x ; x silnx x ; x si de la manière suivante : 3. On considère dans ce paragraphe la fonction x Montrer grâce au changement de variable (c)lnx x; x telles que : et (b)xòdx x Justifier l'existence de l' (a)Montrer que (c) en précisant les valeurs aux bornes. Donner le tableau des variations de On; sur ; réalise une bijection de Montrer que (b) en précisant les valeurs aux ...

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Extrait

(a)

3. On considère dans ce paragraphe la fonctionhdéfinie surIRde la manière suivante : a

a d Justifier l'existence de l'intégrale ò 0 f a (x)x notée ,I a . Déterminer deux constantesa etb : telles que"xÎ[ 0 ;a 1 1 ], + -x x En déduire queI 1 =2 ln 2-1.

Montrer grâce au changement de variablex=auqueI a =I 1 .

 On noteXune vh. a ariable aléatoire réelle admettant une densité égale à a On noteH de rla f     a  de la variableonction épartitionX a .   (b)

Calculer l'espéranceE(a+X a ) . En déduire l'espéranceE(X a ) .

ï í ì sixÎ[ 0 ;a] ,h(x)= 2 1 2nl-1 f(x) a a   x a h x ï î siÏ[ 0 ; ] , a ( )=0

Montrer queh a  est une densité de probabilité.

Calculer l'espéranceE((a+X a ) 2 ) . En déduireE(X a 2 ) puis la varianceV(X a ) .

Soit la variable aléatoire à densitéT définie parT= 1 X a . a Montrer que pour tout réelt de [ 0 ; 1 ] :P(T£t)=H(at) . a

(c)

  1.

 

(d)

(b)

 

 

(c)

 

 

 

(c)

En déduire queTsuit la même loi queX 1 .

= a + 1 b . +x

Montrer quef a réalise une bijection de [ 0 ;a  1 ] sur [  0 ; a ] . On notef a -1 sa bijection réciproque. Donner le tableau des - récisant variations def a 1  lesen p valeurs aux bornes.

Montrer quef a -1 =f 1 . a

(a)

(b)

EXERCICE 1

On pose poura réel strictement positif la fonctionf a  définie sur [ 0 ;a :] par   Pour toutxÎ[ 0 ;a] ,f a (x)= a( a a - + x x ) .

Justifier la dérivabilité def a  0 ;sur [a calculer sa dérivée.] et

En déduire le tableau des variations def a en précisant les valeurs aux bornes.

(a)

 

2.