Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2003 classe prepa hec (stg)

Description

31231212, 911b1, 3b. 1392111, 0b01126123S4, 12b3n0S4n116Oliviernn0102116411624221121n13102313241316681631221n4311014110412103011481321611231221221164EXERCICE 1 ææ æ æ= = = et = . - -Ł ł Ł ł Ł łŁ ł-1 . -1 n ‡ . n n -1 ‡ = . n n næ æ æ æ- · + · - ·Ł ł Ł ł Ł łn n næ æ æn= - · + · - · . Ł ł Ł ł Ł łn n næ æ æ+ · - · + ·Ł ł Ł ł Ł łŁ łPartie B Au club de vacances « Les Flots Bleus », chaque jour, chaque enfant choisit une activité parmi trois possibilités : • • . • . n n n n= = = n n n n n ns . s s . n + 1 n + 1 n + 1 n n n et v en fonction de et v A l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer 2) et ves de l’énoncé à l’aide des événements précédents. En particulier, on déterminera Traduire les donné 1)) P et ) V ( P v ) B ( P On note leurs probabilités ». choisit le ski nautique le jour Olivier « » et choisit la voile le jour « V », choisit le jeu de ballon le jour Olivier « B , on définit les événements Pour tout entier naturel non nul , ou change pour le ballon avec la probabilité la probabilité pour la planche à voile avec , change chaque enfant qui a choisi le ski nautique la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité change pour le ballon avec la probabilité ou chaque enfant qui a choisi la planche à voile la veille reste fidèle à ce sport avec la ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 482
• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 1

Partie A

Soient les matrices

=

=

3

0

3

3

4

3

6

8

6

12

1

4

1

0

4

1

4

1

3

1

4

1

2

1

3

2

2

1

M

,

-

-

=

2

3

1

3

1

0

6

2

1

P

et

=

1

0

0

0

12

1

0

0

0

0

D

.

1) Montrer que la matrice

P

est inversible et calculer sa matrice inverse

1

-

P

.

2) Montrer que la matrice

MP

P

1

-

est diagonale et égale à

D

.

Déterminer

n

D

pour tout entier

1

≥

n

.

3) Montrer par récurrence que, pour tout entier

1

≥

n

:

1

-

=

P

PD

M

n

n

.

4) En déduire que, pour tout entier naturel non nul

n

:

×

+

×

-

×

+

×

-

×

+

×

-

×

-

×

+

×

-

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

M

12

1

9

2

12

1

24

2

12

1

9

2

12

1

3

3

12

1

8

3

12

1

3

12

1

6

6

12

1

16

6

12

1

6

6

3

11

1

.

Partie B : Probabilités

Au club de vacances « Les Flots Bleus », chaque jour, chaque enfant choisit une activité parmi trois possibilités :

un jeu de ballon sur la plage, la planche à voile ou le ski nautique. Olivier est l’un de ces heureux vacanciers.

On suppose que le premier jour, chaque enfant choisit au hasard. Ensuite , chaque jour :

•

chaque enfant qui a choisi le jeu de ballon la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité

2

1

, change

pour la planche à voile avec la probabilité

4

1

, ou change pour le ski nautique avec la probabilité

4

1

.

•

chaque enfant qui a choisi la planche à voile la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité

3

1

ou

change pour le ballon avec la probabilité

3

2

.

•

chaque enfant qui a choisi le ski nautique la veille reste fidèle à ce sport avec la probabilité

4

1

, change

pour la planche à voile avec la probabilité

4

1

, ou change pour le ballon avec la probabilité

2

1

.

Pour tout entier naturel non nul

n

, on définit les événements

n

B

«

Olivier

choisit le jeu de ballon le jour

n

»,

n

V

«

Olivier

choisit la voile le jour

n

» et

n

S

«

Olivier

choisit le ski nautique le jour

n

».

On note leurs probabilités

)

(

n

n

B

P

b

=

,

)

(

n

n

V

P

v

=

et

)

n

n

S

P

=

1) Traduire les données de l’énoncé à l’aide des événements précédents. En particulier, on déterminera

1

b

,

1

v

et

1

s

.

2) A l’aide de la formule des probabilités totales, exprimer

1

+

n

b

,

1

+

n

v

et

1

+

n

s

en fonction de

n

b

,

n

v

et

n

s

.