Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2004 classe prepa hec (eco)

EXERCICE 1 On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : 0 1 1 - 4 3 3 1 0 1 1 0 0Ø ø Ø ø Ø ø Ø øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œG = 0 2 0 , H = - 3 2 3 , P = 1 1 0 , I = 0 1 0 Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ œ Œ œ Œ œ Œ œ- 2 1 3 - 3 3 2 1 - 1 1 0 0 1º ß º ß º ß º ßØ1ø Ø 0 ø Ø1ø Ø0øŒ œ Œ œ Œ œ Œ œainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : , , , . X = 1 X = 1 X = 0 O = 01 2 3Œ œ Œ œ Œ œ Œ œŒ1œ Œ- 1œ Œ1œ Œ0œº ß º ß º ß º ß1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X , X , X sont des vecteurs propres de G. 1 2 32. (a) Calculer les produits HX , HX , HX . 1 2 3-1 -1 (b) Montrer que la matrice P est inversible , et que les produits P GP et P HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ). (c) Montrer que 0 est valeur propre de H - G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 1Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 2Montrer que 0 est valeur propre de H + G , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X . 3On note dans toute la suite f l'application définie sur (IR) par f ( M ) = HMG - GMH . 33. (a) Montrer que f est un endomorphisme de (IR ) . 3 (b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker( f ) . b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3 , HMGX - GMHX = O . En déduire les relations : (H - G)MX = O . 1 (2H + G)MX = O . 2 (H + G)MX = O . 3b2. Montrer ...