Esc 2005 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2005 classe prepa hec (s)

Epreuve ESC 2005, option scientifiqueEXERCICE 1 a c b Pour tout triplet de r´eels (a,b,c) on pose M = c a+b c .a,b,cb c a1) Justifier que pour tout triplet de r´eels (a,b,c) la matrice M est diagonalisable.a,b,c 32) On pose E = M ,(a,b,c)∈R .a,b,cMontrer que E est unR-espace vectoriel dont on d´eterminera une base et la dimension.33) On pose C = M et h l’endomorphisme de R de matrice C dans la base canonique de0,0,13R .2 3a) Calculer C et C . Donner un polynˆome annulateur de C.b)En d´eduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de h .3c) Donner une base deR form´ee de vecteurs propres pour h, et orthonorm´ee pour le produit3scalaire canonique deR .34) On pose B = M et g l’endomorphisme de R de matrice B dans la base canonique de0,1,03R .a) Montrer que g et h commutent.b)Montrer que tout vecteur propre de h est un vecteur propre de g.c) En d´eduire queg eth sont diagonalisables dans une mˆeme base et donner les valeurs propresde g.5)a)Exprimer M en fonction de I, B, C et des r´eels a, b et c.a,b,cb)En d´eduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de Ma,b,c6) Soit c un r´eel fix´e.3 3On consid`ere l’application Φ :R ×R →R telle que pour tous triplets de r´eels (x,y,z) etc0 0 0(x,y ,z ) :   0x x0 0 0 t 0 0 0   Φ (x,y,z),(x,y ,z ) = XM X ou` X = y et X = yc 2,1,c0z z√ √On pose u = (−1,0,1), u = (1, 2,1), u = (1,− 2,1).1 2 33a) Montrer que Φ est une forme bilin´eaire sym´etrique deR .cb)Calculer les 6 ...