Esg 2004 mathematiques classe prepa hec (ece) mathematiques 2004 classe prepa hec (ece)

ESG 2004 CONCOURS FORMULE ÉCONOMIQUE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1 Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 h Durée.4 heures Coefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE (sur 5 points) 3L’espace vectoriel E = R est rapporté à la base canonique C = (c ; c ; c ) avec 1 2 3c = (1 ; 0 ; 0) , c = (0 ; 1 ; 0) , c = (0 ; 0 ; 1) . 1 2 3 On noté I la matrice unité d'ordre 3 et O la matrice nulle d'ordre 3. On considère l’endomorphisme u de E défini par : u(c ) = 4 c + c + c ; u(c ) = c + 4 c + c ; u(c ) = c + c + 4c 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1°) Déterminer la matrice A associée à u dans la base C . 2°) Calculer ( A - I )( A - 6 I ) . 3°) On considère les vecteurs b = c - c , b = c - c et b = c + c + c . 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3a) Montrer que B = (b ; b ; b ) est une base de E . 1 2 3b) Soit P la matrice de passage de la base C à la base B .Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1matrice P c) Déterminer la matrice M de u relativement à la base B . n n n -14°) Pour tout entier naturel non nul n , calculer M , et exprimer A en fonction de M , P et P . EXERCICE D'ANALYSE (sur 10 points) Pour tout entier naturel non nul n , on note la fonction f définie sur [ 0 ; +¥[ par : nnx- rrxe f (x) = . On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal O;;ij. n n n ( )n!A) Étudier les variations de f sur [ 0 ; +¥[ . ...