Esg 2004 mathematiques classe prepa hec (ect) mathematiques 2004 classe prepa hec (ect)

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ESG 2004 Option technologiqueEXERCICE 1 : Puissances d’une matrice (3,5 points)0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 1 1@ A @ A @ AOn considŁre les matrices A = 0 1 1 ; I = 0 1 0 ; J = 0 0 1 :0 0 1 0 0 1 0 0 0nLe but de l exercice est de calculer les puissances A de A oø n est un entier supØrieur ou Øgal à 1.2 3 k 1. Calculer J , J ; en dØduire J pour tout entier k deN .2. DØterminer deux nombres rØels x et y tels que A = xI +yJ:n3. Donner, à l aide de la formule du bin me de Newton, le dØveloppement de (I +J) .n(n 1)n 2 n4. En dØduire que A = I +nJ + J et exprimer A sous forme de tableau de nombres, pour n entier2supØrieur ou Øgal à 1.5. Pourquoi la matrice A est-elle inversible ? calculer son inverse à l’aide de la mØthode du pivot de Gauss.L expressionobtenueàlaquestion4)pournentiersupØrieurouØgalà1peut-elles Øtendreaucasoø n = 1?EXERCICE 2 : Etude de fonction(6,5 points)12Soit f la fonction dØ…nie sur ]0;+1[ par : f(x) = x +x 6lnx.21. Etudier les limites de f en 0 et en +1 et prØciser la ou les branches in…nies.2. Montrer que la dØrivØe de f sur ]0;+1[ est du signe de (x 2)(x+3). En dØduire le tableau des variationsde f sur ]0;+1[3. Donner une Øquation de la tangente T à la courbe C reprØsentative de f au point d abscisse 1.4. Tracer T et l allure de C dans un repŁre orthonormØ (1 unitØ = 2 cm). On donne ln2’ 0;7 et ln3’ 1;1.Montrer que l Øquation f(x) = 0 admet une et une seule solution sur l’intervalle ]0;2[, qu on appellera .Positionner sur le ...

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ESG 2004 Option technologique

EXERCICE 1 :Puissances dune matrice (3,5 points) 0 10 10 1 1 1 11 0 00 1 1 @ A@ A@ A On considère les matricesA = 01 1 ; I 1 0= 0 ; J 0 1= 0 : 0 0 10 0 10 0 0 n Le but de lexercice est de calculer les puissancesAdeAoùnest un entier supérieur ou égal à 1. 2 3k 1. CalculerJ,J; en déduireJpour tout entierkdeN. 2. Déterminerdeux nombres réelsxetytels queA=xI+yJ: n 3. Donner,à laide de la formule du binôme de Newton, le développement de(I+J). n(n1) n2n 4. Endéduire queA=I+nJ+Jet exprimerAsous forme de tableau de nombres, pournentier 2 supérieur ou égal à 1. 5. Pourquoila matriceAest-elle inversible ?calculer son inverse à laide de la méthode du pivot de Gauss. Lexpression obtenue à la question 4) pour n entier supérieur ou égal à 1 peut-elle sétendre au cas oùn=1 ?

EXERCICE 2 :Etude de fonction(6,5 points) 1 2 Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(x) =x+x6 lnx. 2 1. Etudierles limites defen0et en+1et préciser la ou les branches innies. 2. Montrerque la dérivée defsur]0; +1[est du signe de(x2)(x+ 3). Endéduire le tableau des variations defsur]0; +1[ 3. Donnerune équation de la tangente T à la courbe C représentative defau point dabscisse 1. 4. TracerT et lallure de C dans un repère orthonormé (1 unité = 2 cm).On donneln 2'0;7etln 3'1;1. Montrer que léquationf(x) = 0admet une et une seule solution sur lintervalle]0; 2[, quon appellera. Positionnersur le graphique de la question d) et on donner une valeur approchée. 5. Montrerque la fonction g dénie sur]0; +1[parg(x) =xlnxxest une primitive de la fonctionx7!lnx sur]0; +1[.  R 6. CalculerI=f(x)dxen fonction deet interpréter géométriquement cette intégrale, à laide du tracé de 1 la question d).

EXERCICE 3 :Probabilités (10 points)

On dispose de deux urnes contenant des boules indiscernables au toucher : lurne A contient 2 boules rouges et 3 boutes blanches, lurne B contient 2 boules rouges et 2 boules blanches. Les parties A, B et C sont indépendantes.

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