Espci 1999 premiere composition de mathematiques classe prepa pc premiere composition de mathematiques 1999 classe prepa pc

Description

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE Pc PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. *** On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. *** Notations Pour tout entier n 2 1, on munit Rn du produit scalaire canonique, noté ( ), et de la norme 1 euclidienne associée, notée 11 11. On désigne par S, l’ensemble des matrices carrées symétriques, à n lignes et n colonnes, à coefficients réels. On identifie une matrice M E S, à une application linéaire de IRn dans Rn, et Mx désigne l’image par M d’un élément x de Rn. On dit que M E S, est, positive si, pour tout x dans IRn, (Mxlx) 2 O. On dit que M E S, est définie positive si, pour tout LC non nul dans R”, (Mxlx) > O. Première partie : propriétés des matrices symétriques On considère une matrice symétrique M E S, et l’on pose, pour tout x dans Rn, qnn(4 = (M.1.) . Soit S = {x E Rn 1 Ilxll = l} la sphère unité de Rn. 1. Montrer que la restriction à S de la fonction qM est bornée et atteint sa borne inférieure Q = inf qM(x) et sa borne supérieure ,O = sup qM(x). Il~//=l /lx/l=~ 2. Soient XI,. . . , les valeurs propres de M. On pose Amin(M) = inf XI, , = sup AI, &{l, ... ,n} &{l, ... p} Montrer que Q = Xmin(M) et que ,O = Amm(M). X,,(M) A, 3. Déduire de la question 2. les équivalences ...

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• Publié par: aiolos
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