Espci 2002 premiere composition de mathematiques classe prepa pc premiere composition de mathematiques 2002 classe prepa pc

ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCPREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.L’objetdeceproblèmeestl’étudedesystèmesrégisparuneéquationdifférentielledépendantd’unedonnéeappelée«commande»etlarecherchede«commandesoptimales».∗ pPourtout p ∈ N,onnote· lanormeeuclidienne sur R et (·|·)leproduitscalaire∗ peuclidien.Latransposéed’unematriceréelle Mestnotée M.OnidentifieunélémentdeRavecunematriceà plignesetunecolonne.Dansceproblème,onappellefonctionbiencontinueparmorceauxsurunintervalle [0,T]deRtoutefonction ϕcontinueparmorceaux,continueàgauchesur [0,T]etcontinueàdroiteen0,c’est-à-diretellequ’ilexisteunnombrefinidepoints, t =0t=1,2,...,k− 1.PréliminairesSoit M l’espacevectorieldesmatricescarréesréellesà plignes.Pour M∈M,onposep pMX| M| =sup .pXX∈RX=01.a)Vérifierque M∈M −→ | M|∈ Restunenormesur M.p pb)Montrerque,pourtoutesmatrices M,N∈M,p| MN| | M|| N| .n 1 k2.a)Pour n ∈ N,onposeS (M)= M.Montrerquelasuite(S (M)) estn n n∈Nk!k=0convergentedansl’espacevectoriel M munidelanorme |·| .p1Onpose∞ 1M ke = lim S (M)= M .nn→+∞ k!k=0tMb)Montrerquelafonction t∈R→ e ∈Mestcontinue,dérivableetquepd tM tMe =Me .dtd dtM −tM (s+t)M −tMc)Calculer (e e )et,pour ...