ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption lettres et sciences humainesEpreuve E.N.S. B/LMATHEMATIQUES IAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.On considŁre un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se dØroule en une suite d Øpreuves de la fa on suivante,jusqu à Ølimination d’au moins deux des trois tireurs : Tous les tirs sont indØpendants les uns des autres. Lorsque A tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilitØ pour qu il atteigne son adversaire est Øgale à 1/3. Lorsque qu un des tireurs est atteint, il est dØ nitivement ØliminØ des Øpreuves suivantes. À chacune des Øpreuves, les tireurs non encore ØliminØs tirent simultanØment et chacun d eux vise le plusdangereux de ses ...
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :
Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/3. Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes. À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. (Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A): Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ieme ABCn: à lissue de lanépreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ieme ABnà lissue de la: népreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBCnetCAn. ieme An: à lissue de lanépreuve, seul A nest pas éliminé . ieme ;nà lissue de la: népreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC0est lévénement certain,AB0,BC0,CA0,B0,C0,;0, lévénement impossible.