ESSEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (ect)

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUES IAnnØe 2003La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.1 n!EXERCICE 1 : Calcul de lim ln( )nn!+1n n1. Etude d une fonctionSoit f la fonction dØ…nie sur ]0;+1[par : f(t) =t 1 lnt(a) Calculer les limites de f en 0 et en +1.(b) Justi er la dØrivabilitØ de f sur ]0;+1[ et dØterminer f ?(c) Dresser le tableau de variations de f.(d) ReprØsenter l’allure de la courbe d’Øquation y = f(t) dans un repŁre orthonormØ pour tout rØel tcompris entre 0 et 4.On donne à cet e⁄et les approximations suivantes : ln(2) 0;7 et ln(3) 1;12. Calcul d intØgrale .1R(a) Soit xun rØel de ]0;1[:Justi er l’existence de l’intØgrale : f(t)dt.x(b) Montrer que la fonction t7 !tlnt t est dØrivable sur ]0;+1[ et dØterminer sa dØrivØe.1 1R R 1(c) En dØduire le calcul de f(t)dt et montrer que lim ...