FESIC 2005 concours commun post bac s

ConcoursFesicmai2005Calculatrice interdite; traiter 12 exercicessur les 16 en2h 30; répondreparVraiouFauxsansjustification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’unpointpourunexerciceentièrementjuste.EXERCICE1 →− →−Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v .Onconsidère 2zlafonction f qui,àtoutcomplexe z nonnul,associelecomplexe: z = f(z)= .|z|Soient z ∈C−{0}et z = f(z).Onappelle M lepointdecoordonnées(x ; y)d’affixez et M lepointdecoordonnées(x ; y)d’affixez .2 2x −y 2xy a. Ona x = et y = .2 2 2 2x +y x +yb. z ∈Rsietseulement si M appartientàl’axedesordonnées. 8c. f(1+i) estunnombreréel.d. Ilexisteunetunseulpoint M telque M et M soientconfondus.EXERCICE2 →− →−Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v .∗Soit m ∈R . On considèreles points A,J, Ket Md’affixes respectives z =1+i, z =A Ji, z =2+ietz =1+im.SoitN lesymétriquede M parrapportàA.K Ma. Lepoint Napouraffixe1+i(2−m).−→∗b. Quel que soit m∈R ,Kestl’imagedeN parlatranslationdevecteurJM .c. IlexisteunevaleurdemetuneseuletellequeKsoitl’imagedeJparlarotationπdecentre M etd’angle .2d. Soit m=2.Pourprouverquelesdroites(OA)et(MK)sontperpendiculaires,ilfautetilsuffitdeprouverque z (z −z )=0.A K MEXERCICE32π 1−iOnappelle z lecomplexedemodule2etd’argument etonpose t = .3 2na. Soit n∈Z. t estunnombreréelsietseulement si nestunmultiplede4.2π zb. estunargumentde .312 t10 9c. Lapartieréellede z est−2 .2 8d. 1+t+t +···+t =1 ...