HEC 1999 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 14 4 4On noteL(R ) el nsemble des endomorphismes de l espace vectoriel R , Id el ndomorphisme identique de R etIla matrice identitØ deM (R). On considŁre les matrices :4 0 1 0 10 1 0 0 0 0 1 0B C B C1 0 0 0 0 0 0 1B C B CL = ; M =@ A @ A0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 04On dØsigne respectivement par ’ et les endomorphismes deR reprØsentØs par L et M dans la base canonique4E = (e ;e ;e ;e ) deR .1 2 3 441. (a) Montrer que ’ et sont des automorphismes deR et en dØterminer les automorphismes rØciproques.(b) DØterminer les valeurs propres et les sous espaces propres associØs de el ndomorphisme ’. de mŒme les valeurs propres et les sous espaces propres associØs de .4(c) Montrer que l on peut trouver un vecteur ...