HEC 2000 concours Maths 2 ES

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HEC 2000 concours Maths 2 ES

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• Publié par: porthos
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Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneU n contenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnU n . On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneU n les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )et V(Y n )) lespérance et la variance deX n (respectivementY n ).

Partie 1. n P 1 11 1. Onpose :h n = =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6h n 61 + lnn

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