HEC 2003 mathematiques ii classe prepa b/l

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´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES´MATHEMATIQUES IIMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Le probl`eme a pour objet l’´etude de la rentabilit´e du « surbooking» pour une compagnie a´erienne.Partie I : Expression de l’esp´erance du chiffre d’affaireDans cette partie,n est un entier naturel non nul,N un entier sup´erieur ou ´egal `a 2, etp un r´eel strictementcompris entre 0 et 1.Unecompagniea´erienneavendunbilletsa`centeurospourlevol714quipeutaccueillirjusqu’`aN passagers.La probabilit´e pour qu’un acheteur se pr´esente `a l’embarquement est p et les comportements des acheteurssont suppos´es ind´ependants les uns des autres.Un acheteur qui ne se pr´esente pas a` l’embarquement est rembours´e a` 80%, tandis qu’un acheteur qui sepr´esente `a l’embarquement mais n’obtient pas de place, le vol ´etant d´ej`a complet, est rembours´e a` 200%.Soit X la variable al´eatoire d´esignant le nombre d’acheteurs d’un billet se pr´esentant a` l’embarquement,soitY la ...

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Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES

´ MATHEMATIQUES II

Mardi13mai2003,de8ha`12h.

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

Leprobl`emeapourobjetl’e´tudedelarentabilite´du«surbooking»pourunecompgainaee´irneen.

PartieI:Expressiondel’espe´ranceduchiffred’affaire

Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Ntienuneiruuoe´reus´pretgal`a2,eptnemrtsletciunr´ee compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendun17q4velotucaiuepnteu`aceourlrospstellibeicuirllsqju`au’Npassagers. Laprobabilit´epourqu’unacheteursepre´sentea`l’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepr´esentepas`al’embarquementestrembours´e`a80%,tandisqu’unacheteurquise pr´esente`al’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levol´etantde´ja`complet,estrembourse´`a200%. SoitXcaeher’ddsu’etruletsnbilesenepr´’la`tnateuqrabme,ntmelavabairlaeltae´erioesd´naiglentmbno soitYsiamtnmeuerqbaeml’`antrivalaonelerbmgisetnanoiatd´releab´eal´rseneatlielstpeursd’unbd’achete n’obtenant pas de place et soitGonemnttaenriote´dengisltna´laelbaeraailvacentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconside´r´e. Onsupposecesvariablesal´eatoiresd´efiniessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deXnoD?p´erancenersonesnaec.teasavir 2.ou,pourtecr´eristnPle´teme´ωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenfnitseal`au´egeuro´eriN. Calculeralorsl’esp´eranceE(Gaelbae´lvaleaira)dtoireG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilit´eP([X>Nreet])ovria`asonbmiselnuraiaetretpuˆ choisidefac¸ona`optimisersonchiffred’affaire.

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