HEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESMATHIIECONOMIQUEDans tout le probl`eme, on consid`ere une suite infinie de lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee, c’est-`a-dire pourlaquelle, a` chaque lancer, les apparitions de ((pile )) et de ((face )) sont ´equiprobables.On admet que l’exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P).Pour tout entier naturel non nul n, on d´esigne par R l’´ev´enement ( pile apparaˆıt au lancer de rang n ) etnpar S l’´ev´enement ( face apparaˆıt au lancer de rang n )nPartie I : Un r´esultat utile∗On consid`ere une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,A,P), prenant ses valeurs dansN et, pour tout entiernaturel non nul n, on pose : a = P([X =n]).n+∞X1. a) Justifier que la suite (a ) est une suite de nombres r´eels positifs ou nuls v´erifiant a = 1.n n>1 nn=1b) Montrer que, pour tout nombre r´eel x appartenant a` l’intervalle [0,1], la s´erie de terme g´en´eralna x est convergente.n+∞Xn2. On d´esigne par f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0,1] par : ∀x∈ [0,1], f(x) = a x .nn=1On suppose que cette fonction est d´erivable au point 1; elle v´erifie donc :f(1)−f(x) 0lim =f (1)x→1 1−xx<1 !+∞ n−1X Xf(1)−f(x) k´a) Etablir pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ l’´egalit´e : = a x .n1−xn=1 k=0f(1)−f(x)b) En d´eduire que la fonction x7→ est croissante sur [0,1[ et qu’elle v´erifie pour tout1−xf(1)−f(x) 0nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ les in´egalit´es suivantes : 06 6f (1).1−xNX0c) Montrer que, pour ...

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE

Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunesuiteinfiniedelancersd’unepi`ecee´quilibre´e,c’est-a`-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsde✭pile✮et de✭face✮snoles.obabuiprt´eq Onadmetquel’exp´erienceestmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnsi´end,oarepgnR n ne´ve´’ltneme✭pile apparaˆıt au lancer de rangn✮et parS n ne´vnemete´’l✭arppıtaˆfeaacedargnuaalcnren✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableale´atoireXe´nfidr(Ωiesu,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X 1.a) Justifierque la suite (a n ) n>1 tuessuneeditmoneserbee´ropsl´vreunslsfuoisittifiana n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrer´eelxantna`’lappraetle[0interval,etedgemr´saleire1],n´´ealer n a n xest convergente. +∞ X n 2.pengise´ndOrafreavi’tn0ll[end´ectiosurlfinienofal,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 Onsupposequecettefonctionestde´rivableaupoint1;elleve´rifiedonc: f(1)−f(x) 0 lim =f(1) x→1 1−x x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,=t´e:’le´agil[1a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)Ende´duirequelafonctionx7→est croissante sur [0,uttourpofiee´irllveuqe’[1te 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,0:s1l[senie´galit´essuivante6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelNnon nul, on a :06na n 6f(1). n=1 Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ralna n est convergente.

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