HEC 2005 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE.nDans cet exercice,n est un entier supØrieur ou Øgal à 2. On noteE el space vectoriel R et Id apl plication identitØde E.L objet de l exercice est l Øtude des endomorphismes f de E vØri ant l’Øquation () :f f = 4IdA. Étude du cas n=2. p 1 12Soit f l endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique est : A = 21 1p 2 22 pSoit u le vecteur deR dØ…ni par u = .21. Montrer que f vØri e l’Øquation (), puis prØciser le noyau et l’image de f.2. On note F = ker(f 2Id) et G = Im(f 2Id):(a) Montrer que G est engendrØ par le vecteur u. En dØduire la dimension de F et donner une base de F.(b) VØri…er que G est le sous-espace propre de f associØ à la valeur propre 2.3. Montrer que f est diagonalisable; ...