INSEEC 1999 concours

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INSEEC 1999 concours

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• Publié par: athos
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Exercice 1 Onconside`relesmatricescarr´eesd’ordre3:     4 0 21 0 01 02     A = 04 2 Iet 1 0= 0 J 1 2= 0 0 0 20 0 10 0−1 2 1. CalculerJ. 2. (a)De´terminerdeuxr´eelsαetβtels queA=αI+βJ. n (b)Etablirparre´currenceque,pourtoutentiernatureln:A=a n I+b n J. (On exprimeraa n+1 etb n+1 en fonction dea n etb n ). 3.Onconside`relesdeuxsuitesdetermesg´ene´rauxU n etV n r:paesni´dfie U n =a n +b n etV n =a n −b n (a) Montrerque (U n ) n∈N iqtrdoueonnt´epresicalarsiar.noesutenustigee´moe´ CalculerU n en fonction den. (b) Montrer que (V n ) n∈N nutserelurietm´eog´teuiespn´rcesiuqdenootson.CalceralaraiV n en fonction den. n (c)End´eduireles9termesdelamatriceA.

Exercice 2 I- 3 Soitge´nfioidn]r0eiusonctlaf,+∞[ par :g(x) = 2x+ 3−6 ln(x) × 3 2 1.D´eterminer3r´eelsa, b, c, tels que :∀x∈R + ,(x−1) = (x−1)(ax+bx+c) 2. 0 (a)Calculerlade´rive´egdeg. Etudier son signe. (b) Calculergdu´eelir1)(nd-Esegienedg(x) sur ]0,+∞[

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