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Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2004 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

2 pages
Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2004. Retrouvez le corrigé Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2004 sur Bankexam.fr.
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le 17 Juin 2004 UTBM MT12 Arthur LANNUZEL

Examen final Printemps 2004
Chaque exercice sera r´dig´ sur une feuille diff´rente. Les e e e calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´ est une feuille e A4 manuscrite.

Exercice 1 1) On consid`re le syst`me lin´aire suivant : e e e   m.x+ (m − 1).y +(m + 1).z = a m.x +(m + 1).z = b  (m − 1).y +(m + 1).z = c   a Pour quels m a-t-on une solution quel que soit  b  ∈ R3 ? Expliquer. c 2) Grˆce ` un changement de variable, donner toutes les primitives de : a a e5x − 2.e4x − e3x + 2.e2x e4x − 1 3) D´terminer une ´quation diff´rentielle admettant e e e {ex + 1 + (C1 + C2 .x).e2x , C1 , C2 ∈ R} 4

comme ensemble de solutions. Expliquer.

Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) Grˆce ` la d´finition de l’int´grale de Riemann, montrer que la suite (Sn )n∈N de terme a a e e g´n´ral e e k=n−1 n Sn = 2 + k2 n k=0 admet une limite lorsque n tend vers +∞ et calculer cette limite. Justifier.

TOURNER LA PAGE S.V.P.

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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) Soit l’application lin´aire donn´e dans la base canonique par e e fA :  R3  −→ R3   x x  y  → A.  y  z z  2 3 −3 o` A =  3 1 −2 . u 3 2 −3 1) Trouver le polynˆme caract´ristique de fA . En d´duire ses valeurs propres. o e e 2) Trouver une base des sous-espaces propres. 3) Trouver une base B de R3 telle que T := MfA ,B En d´duire P telle que P.T.P −1 = A. e 4) R´soudre le syst`me diff´rentiel e e e   y1 = 2.y1 +3.y2 −3.y3 + x y = 3.y1 +y2 −2.y3 + x  2 y3 = 3.y1 +2.y2 −3.y3 + x  a 0 0 =  0 b 1  avec a, b ∈ R. 0 0 b  

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